第7节 第七章 多无函数的极值及其求法 多元函数的极值 二、 多元函数的最大值与最小值 三、条件极值与拉格朗日乘数法 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 日录 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 第七章 第7节 一、多元函数的极值 二、多元函数的最大值与最小值 三、条件极值与拉格朗日乘数法 多元函数的极值及其求法
一、 多元函数的极值 定义若函数二=f(x,y)在点P(x,y)的某邻域内有 f(x,y)≤f(xo,yo)(或f(xy)≥f(xo,o) 则称函数在该点取得极大值（极小值）.极大值和极小值 统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点 例如： z=3x2+4y2在点(0,0)有极小值， =-Vx2+y2 在点(0,0)有极大值； 2=xy在点(0,0)无极值 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、 多元函数的极值 定义 若函数 则称函数在该点取得极大值 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值. 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. ( , ) ( , ) 0 0 f x y f x y ( ( , ) ( , )) 0 0 或 f x y f x y 2 2 z 3x 4y 2 2 z x y z x y ( , ) ( , ) 0 0 0 z f x y 在点P x y 的某邻域内有 x y z O x y z O x z O y (极小值)
定理1（必要条件）函数z=f(x,y)在点(xo,yo)具有 偏导数，且在该点取得极值，则有 f(x0,y)=0,f,(x)=0. 证：因z=f(x,y)在点(xo,y)取得极值，故 二=f(x,o)在x=x取得极值 2=f(xo,)在y=o取得极值 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立 说明：使偏导数都为0的点称为驻点 但驻点不一定是极值点 例如，z=xy有驻点(0,0)，但在该点不取极值 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如, 定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 证: 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. ( , ) 0 , ( , ) 0. f x x0 y0 f y x0 y0 取得极值 , 取得极值 取得极值 但驻点不一定是极值点. 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值. 且在该点取得极值 , 则有 ( , ) ( , ) 0 0 z f x y 在点 x y 具有 ( , ) ( , ) 0 0 因z f x y 在点 x y z f (x, y0 ) 在 0 x x 故 z f (x0 , y) 在 0 y y z x y
定理2（充分条件）若函数z=f(x,y)在点(x0,yo)的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数，且 fx(x0,0)=0,fy(x0,0)=0 令fx(x0,)=A,f(,)=B,f(x,)=C, A<0时取极大值： 则：(1)当AC-B2>0时，具有极值 >0时取极小值 (2)当AC-B2<0时，没有极值 (3)当AC-B2=0时，不能确定，需另行讨论 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 时, 具有极值 定理2 (充分条件) 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 令 则: (1) 当 A<0 时取极大值; A>0 时取极小值. (2) 当 (3) 当 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 若函数 z f (x, y) 在点(x0 , y0 )的 ( , ) 0 , ( , ) 0 f x x0 y0 f y x0 y0 ( , ) , ( , ) , ( , ) , f x x x0 y0 A f x y x0 y0 B f y y x0 y0 C 0 2 AC B 0 2 AC B 0 2 AC B 且
例7.7.4求函数f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x的极值 解：第一步求驻点. 解方程组 [才x(x,y)=3x2+6x-9=0 f(x,y)=-3y2+6y=0 求得驻点为：(1,0)，(1,2)，(-3,0)，(-3,2) 第二步判别.求二阶偏导数 B fx(x,y)=6x+6,(x,y)=0,w(x,y)=-6y+6 A 在点(1,0)处A=12,B=0,C=6, AC-B2=12×6>0,A>0 ∴.f1,0)=-5为极小值： BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束
目录 上页 下页 返回 结束 例7.7.4求函数 解: 第一步 求驻点. 求得驻点为: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 在点(1,0) 处 为极小值; 解方程组 A B C f x (x, y) 3 6 9 0 2 x x f y (x, y) 3 6 0 2 y y 的极值. 求二阶偏导数 f (x, y) 6x 6, xx f (x, y) 0, xy f (x, y) 6y 6 y y A 12, B 0, C 6, 12 6 0, 2 AC B f (1,0) 5 A 0, f (x, y) x y 3x 3y 9x 3 3 2 2