《离散数学》课程教学资源（试卷习题）试卷（题目）12

离散数学试卷（十二） 一、 填空20%（每空2分) 1、设集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},定义A上的二元关系“≤”为 x≤y=y,则xVy=」 2、设A={xx=2”,n∈N},定义A上的二元运算为普通乘法、除法和加法，则代数系 统<A,>中运算*关于 运算具有封闭性。 3、设集合S={a,B,Y,6,),S上的运算*定义为 85 则代数系统<S,>中么元是 。,B左逆元是 无左逆元的元素是」 4、在群坯、半群、独异点、群中 满足消去律。 5、设<G,>是由元素a∈G生成的循环群，且Gm, 则G= 6、拉格朗日定理说明若<H,>是群<G,>的子群，则可建立G中的等价关系 R= 若Gn,Hm则m和n关系为 7、设f是由群<G,☆>到群<G,>的同态映射，'是G中的么元， 则f的同态核Ker(f= 二、选择20%（每小题2分） 1、设f是由群<G,☆>到群<G,>的同态映射，则kcr(0是( A、G的子群：B、G的子群：C、包含G:D、包含G。 合

离散数学试卷（十二） 76 一、 填空 20% （每空 2 分） 1、 设集合 A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，定义 A 上的二元关系“≤”为 x ≤ y = x|y , 则 x  y = 。 2、 设 A {x | x 2 , n N} n = =  ，定义 A 上的二元运算为普通乘法、除法和加法，则代数系 统<A,*>中运算*关于 运算具有封闭性。 3、 设集合 S={α，β，γ，δ，ζ}，S 上的运算*定义为 * α β γ δ ζ α α β γ δ ζ β β δ α γ δ γ γ α β α β δ δ α γ δ γ ζ ζ δ α γ ζ 则代数系统<S，*>中幺元是 ，β左逆元是 ， 无左逆元的元素是 。 4、 在群坯、半群、独异点、群中 满足消去律。 5、 设<G,*>是由元素 aG 生成的循环群，且|G|=n， 则 G = 。 6、 拉格朗日定理说明若<H , *>是群<G,*>的子群，则可建立 G 中的等价关系 R= 。 若|G|=n, |H|=m 则 m 和 n 关系为 。 7、 设 f 是由群<G,☆>到群< G ,*>的同态映射， e  是 G 中的幺元， 则 f 的同态核 Ker(f )= 。 二、 选择 20% （每小题 2 分） 1、设 f 是由群<G,☆>到群< G ,*>的同态映射，则 ker (f)是（ ）。 A、G 的子群； B、G 的子群 ； C、包含 G ； D、包含 G

离散数学试卷（十二） 2、设<A,+,·>是环，a,b∈A,a·b的关于“+”的逆元是( A、(-a)·(-b):B、(-a)·b:C、a·(-b):D、a·b。 3、设<A,+,·>是一代数系统且<A,+>是Abl群，如果还满足( <A,+,·>是域。 A、<A,·>是独异点且·对+可分配： B、<A-{0},·>是独异点，无零因子且·对+可分配 C、<A-{0},·>是Abel群且无零因子： D、<A-{0},·>是AbCl且·对+可分配。 4、设<A,+,·>是一代数系统，+、·为普通加法和乘法运算，当A为( )时， <A,+,·>是域。 A、{xx=a+b5,a,b均为有理数}：B、{xx=a+b/5,a,b均为有理数}： C{xlx=,a,beL,且a≠k；D、{xlx20,xe 5、设<A≤>是一个格，由格诱导的代数系统为<A,V,八>，则( )成立。 A、<Av,A>满足v对A的分配律：B、a,b∈A,a≤b一avb=b: C、a,b,c∈A,若avb=avc则b=c D、a,b∈A有av(aAb)=b且aA(avb)=b. 6、设<A,≤>是偏序集，“≤”定义为：a,b∈A,a≤b一ab,则当A=( )时， <A,≤>是格。 A、{1,2,3,46,12:B、{1,2,3,4,68,12,14:C、{1,2,3,.,12:D、{1,23,4} 7、设<A,V,入>是由格<A,≤>诱导的代数系统，若对a,b,c∈A,当b≤a时， 有( )<A,≤>是模格。 A、aA(bvc)=bv(aAc):B、cA(avc)=aV(bAc): C、av(bAc)=bA(avc):D、cv(aAc)=bA(avc). 8、在( )中，补元是唯一的。 A、有界格：B、有补格：C、分配格：D、有补分配格 77

离散数学试卷（十二） 77 2、设 <A ，+ ，·>是环， a,b  A ，a·b 的关于“+”的逆元是（ ）。 A、(-a)·(-b)； B、(-a)·b； C、a·(-b)； D、a·b 。 3、设 <A ，+ ，·>是一代数系统且<A ，+ >是 Abel 群，如果还满足（ ） <A ，+ ，·>是域。 A、<A ，·>是独异点且·对+可分配； B、<A-{  } ，·>是独异点，无零因子且·对+可分配； C、<A-{  } ，·>是 Abel 群且无零因子 ； D、<A-{  } ，·>是 Abel 且·对+可分配。 4、设<A ，+ ，·>是一代数系统，+、·为普通加法和乘法运算，当 A 为（ ）时， <A ，+ ，·>是域。 A、 {x | x = a + b 5,a,b均为有理数} ；B、{ | 5, , } x x = a + b 3 a b均为有理数 ； C、{ | ,a,b I , a k b} b a x x =  + 且  ； D、{x | x  0，x  I}。 5、设<A,  >是一个格，由格诱导的代数系统为  A , ,  ，则（ ）成立。 A、  A,,  满足对的分配律 ；B、a,b  A,a  b  a  b = b ； C、 a,b,c A,若a b = a  c 则b = c ； D、a,b A,有a  (a b) = b且 a (a b) = b。 6、设<A,  >是偏序集，“  ”定义为： a,b  A,a  b  a | b ，则当 A=（ ）时， <A,  >是格。 A、{1,2,3,4,6,12}； B、{1,2,3,4,6,8,12,14}； C、{1,2,3,.，12}； D、{1,2,3,4}。 7、设  A , ,  是由格<A,  >诱导的代数系统，若对 a,b,c  A ，当 b  a 时， 有（ ）<A,  >是模格。 A、 a  (b  c) = b  (a  c) ； B、c  (a  c) = a  (b  c) ； C、 a  (b  c) = b  (a  c) ； D、c  (a  c) = b  (a  c) 。 8、在（ ）中，补元是唯一的。 A、有界格； B、有补格； C、分配格； D、有补分配格

离散数学试卷（十二） 9、在布尔代数<A,V,A,->中，bAC=0当且仅当( A、b≤c:B、c≤b:C、b≤c:D、c≤b。 10、设<A,V,人，->是布尔代数，f是从A到A的函数，则( A、f是布尔代数：B、∫能表示成析取范式，也能表示成合取范式： C、若A={0,1,则f一定能表示成析取范式，也能表示成合取范式： D、若∫是布尔函数，它一定能表示成析（合）取范式。 三、8% 设A={1,2,A上所有函数的集合记为A4,。是函数的复合运算，试给出AN上运算。的运 算表，并指出AA中是否有么元，哪些元素有逆元。 四、证明42% 1、设<R>是一个代数系统，◆是R上二元运算，a,beRa*b=a+b+ab,则0是幺 元且<R是独异点。(8分) 2、设<G是n阶循环群，G=(a.设b-,ke人，则元素b的阶为行，这里dGCD(n,k) (10分) 3、证明如果f是由<A☆>到<B,>的同态映射，g是由<B,>到<C,△>的同态映射，则g∫是由 <A,☆>到<C,△>的同态映射。(6分) 4、设<A,+,·>是一个含么环，且任意a∈A都有a·=a,若A≥3则<A,+,·>不可能是 整环。(8分) 5、K={1,2,5,10,11,22,55,110}是10的所有整因子的集合，证明：具有全上界110和全下 界1的代数系统K,LCM,GCD,”>是一个布尔代数.(x∈K,10.10分) 五、布尔表达式10% 设E(31,x2,x)=(xA2)V(x2Ax3)V(x1Ax)是布尔代数<{0,1，V,入，>上的一 个布尔表达式，试写出其析取范式和合取范式。(10分)

离散数学试卷（十二） 78 9、在布尔代数  A , , ,−  中， b c = 0 当且仅当（ ）。 A、b  c ； B、c  b ； C、b  c ； D、c  b 。 10、设  A , , ,−  是布尔代数，f 是从 An 到 A 的函数，则（ ） 。 A、f 是布尔代数； B、f 能表示成析取范式，也能表示成合取范式； C、若 A={0，1}，则 f 一定能表示成析取范式，也能表示成合取范式； D、若 f 是布尔函数，它一定能表示成析（合）取范式。 三、8% 设 A={1，2}，A 上所有函数的集合记为 AA ,  是函数的复合运算，试给出 AA 上运算  的运 算表，并指出 AA 中是否有幺元，哪些元素有逆元。 四、证明 42% 1、 设<R,*>是一个代数系统，*是 R 上二元运算， a,b  R a *b = a + b + a b ，则 0 是幺 元且<R,*>是独异点。（8 分） 2、 设<G,*>是 n 阶循环群，G=(a)，设 b=ak，  + k I 则 元素 b 的阶为 d n ，这里 d=GCD ( n , k )。 （10 分） 3、 证明如果 f 是由<A,☆>到<B,*>的同态映射，g 是由<B,*>到<C,△>的同态映射，则 g  f 是由 <A,☆>到<C,△>的同态映射。（6 分） 4、 设<A ，+ ，·>是一个含幺环，且任意 a A 都有 a·a=a，若|A|≥3 则<A ，+ ，·>不可能是 整环。（8 分） 5、 K={ 1, 2 , 5 , 10 , 11 , 22 , 55 ,110 }是 110 的所有整因子的集合，证明：具有全上界 110 和全下 界 1 的代数系统< K , LCM , GCD , ˊ >是一个布尔代数。（ x x K x 110   ,  = ）。（10 分） 五、布尔表达式 10% 设 ( , , ) ( ) ( ) ( ) 3 3 1 2 2 1 2 3 1 E x x x = x  x  x  x  x  x 是布尔代数  {0,1}, , ,  上的一 个布尔表达式，试写出其析取范式和合取范式。（10 分）