《突变函数》课程教学资源（讲义）第三章 可测函数（3.1）可测函数的基本性质

第三章可测函数 在给定了一个测度空间以后,由定义在这个空间上的一个函数可以自然地产生出各 种各样的集为用测度论的方法研究这个函数我们自然要求这些集是可测的.由此产生 了可测函数的概念在定义积分时候,对被积函数的一个基本要求就是这个函数必须是可 测的我们将看到可测函数是一类很广泛的函数特别地,欧氏空间R”上的 Lebesgue可 测函数是比连续函数更广泛的一类函数.而且可测函数类对极限运算是封闭的,这将使我 们在讨论积分的时候更加便利 本章§3.1和§32讨论可测函数的定义,可测函数的基本性质和收敛性.§33在欧 氏空间R"上讨论可测函数与连续函数的联系 §3.1可测函数的基本性质 教学目的定义在测度空间上的函数可以自然产生出各种各样的集为用 测度论的方法研究这个函数,特别是在定义积分时,必须要求这些集是可测 的.由此产生了可测函数的概念本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性 本节要点可测函数有不同的等价定义可测函数是一类很广泛的函数 并且有很好的运算封闭性.可测函数可以用特殊的可测函数即简单函数逼近 这是可测函数的构造性特征,在研究可测函数,特别是在积分理论中有重要 应用 本节和以后若无特别申明,“函数”一词均指取值于R的广义实值函数,取值于R 的函数仍称为实值函数.在§21我们已给出可测空间的定义这里回顾一下.称二元组 合(X,分)为一可测空间,若X是一个非空集,牙是X上的σ一代数.称中的集为 丌-可测集或者简称为可测集. 可测函数的定义与等价特征 定义1设(X,)为一可测空间,E是一个可测集.∫E→R为定义在E上的 函数.若对任意实数a,总有 x∈E:f(x)<a}∈丌, (图1-1是X=R时的示意图)则称∫为E上的可测函数(简称为E上的可测函数) 特别地,X上的可测函数也称为可测空间(X,)上的可测函数(X,)上的可测函数

73 第三章 可测函数 在给定了一个测度空间以后, 由定义在这个空间上的一个函数可以自然地产生出各 种各样的集. 为用测度论的方法研究这个函数,我们自然要求这些集是可测的. 由此产生 了可测函数的概念.在定义积分时候, 对被积函数的一个基本要求就是这个函数必须是可 测的.我们将看到可测函数是一类很广泛的函数. 特别地, 欧氏空间 n R 上的 Lebesgue 可 测函数是比连续函数更广泛的一类函数. 而且可测函数类对极限运算是封闭的, 这将使我 们在讨论积分的时候更加便利. 本章 3.1 和 3.2 讨论可测函数的定义, 可测函数的基本性质和收敛性. 3.3 在欧 氏空间 n R 上讨论可测函数与连续函数的联系. 3.1 可测函数的基本性质 教学目的 定义在测度空间上的函数可以自然产生出各种各样的集.为用 测度论的方法研究这个函数, 特别是在定义积分时, 必须要求这些集是可测 的. 由此产生了可测函数的概念.本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性 质. 本节要点 可测函数有不同的等价定义. 可测函数是一类很广泛的函数, 并且有很好的运算封闭性. 可测函数可以用特殊的可测函数即简单函数逼近, 这是可测函数的构造性特征, 在研究可测函数, 特别是在积分理论中有重要 应用. 本节和以后若无特别申明, 函数 一词均指取值于 ∗ R 的广义实值函数, 取值于 1 R 的函数仍称为实值函数. 在 2.1 我们已给出可测空间的定义. 这里回顾一下. 称二元组 合 (X , F ) 为一可测空间, 若 X 是一个非空集, F 是 X 上的σ − 代数. 称F 中的集为 F -可测集或者简称为可测集. 可测函数的定义与等价特征 定义 1 设 (X , F ) 为一可测空间, E 是一个可测集. f : E → ∗ R 为定义在 E 上的 函数. 若对任意实数 a, 总有 {x ∈ E : f (x) < a}∈F , (图 1 1 是 1 X = R 时的示意图) 则称 f 为 E 上的F -可测函数(简称为 E 上的可测函数). 特别地, X 上的可测函数也称为可测空间(X , F ) 上的可测函数. (X , F ) 上的可测函数

和非负可测函数的全体分别记为M(X,)和M(X,) R f(x) E {x:f(x)<a}=E1∪E2 注1设(X,)为一可测空间,E是一个可测集.容易知道 E={A:A∈E,A∈界}是一个一代数因此(E,E)是一个可测空间.显然∫是E 上的可测函数当且仅当∫是可测空间(E,E)上的可测函数因此在讨论一般可测函数 的性质时,不妨只讨论定义在全空间上的可测函数 特别地,若可测空间(X,)取为是R”上的 Lebesgue可测空间(R",M(R"),E 是R”中的 Lebesgue可测集,则E上的可测函数称为 Lebesgue可测函数类似地,若可测 空间(x,)取为是R”上的Borl可空间(R”,B(R"),E是R”中的 Borel可测集,则 E上的可测函数称为 Borel可测函数.因此按定义,∫是E上的 Lebesgue可测函数(或者 Borel可测函数,若对任意实数a, {x∈E:f(x) 是 Lebesgue可测集(相应地, Borel可测集)以后 Lebesgue可测函数可以简称为L可测函 数.显然每个 borel可测函数是 Lebesgue可测函数 一般地,设牙和2是X上的两个σ一代数并且c52,则由可测函数的定义知 道,每个5-可测函数都是52-可测函数 例1设(X,)是一可测空间,f(x)≡c是X上的常数函数则∫是(x,)上的可 测函数这是因为对任意实数a a>c {x:f(x)<a}= ②若

74 和非负可测函数的全体分别记为 M (X , F ) 和 M ( X , F ). + 图 1 1 注 1 设 (X , F ) 为一可测空间 , E 是一个可测集 . 容易知道 F = {A : A ⊂ E, A∈F } E 是一个σ − 代数. 因此( , ) E FE 是一个可测空间. 显然 f 是 E 上的可测函数当且仅当 f 是可测空间 ( , ) E FE 上的可测函数. 因此在讨论一般可测函数 的性质时, 不妨只讨论定义在全空间上的可测函数. 特别地, 若可测空间(X , F ) 取为是 n R 上的 Lebesgue 可测空间( , ( )) n n R M R , E 是 n R 中的 Lebesgue 可测集, 则 E 上的可测函数称为 Lebesgue 可测函数. 类似地, 若可测 空间(X , F ) 取为是 n R 上的 Borel 可空间( , ( )) n n R B R , E 是 n R 中的 Borel 可测集, 则 E 上的可测函数称为 Borel 可测函数. 因此按定义, f 是 E 上的 Lebesgue 可测函数(或者 Borel 可测函数), 若对任意实数 a, {x ∈ E : f (x) < a} 是 Lebesgue 可测集(相应地, Borel 可测集). 以后 Lebesgue 可测函数可以简称为 L 可测函 数. 显然每个 Borel 可测函数是 Lebesgue 可测函数. 一般地, 设F1 和F2 是 X 上的两个σ − 代数并且F1 ⊂ F2 , 则由可测函数的定义知 道, 每个F1 -可测函数都是F2 -可测函数. 例 1 设(X , F ) 是一可测空间, f (x) ≡ c 是 X 上的常数函数. 则 f 是(X , F ) 上的可 测函数. 这是因为对任意实数a,    ∅ ≤ > < = . { : ( ) } a c X a c x f x a 若 若 X 1 R f (x) a E1 1 2 {x : f (x) < a} = E ∪ E E2 1 4 23 142 3

由于X和必都是可测集,故对任意实数a,总有{x:f(x)<a}∈.因此/是可测的 例2设(X,)为一可测空间,AcX.则A的特征函数4为可测函数当且仅当A 为可测集.这是因为,对任意实数a 2若a≤0 {x:I4(x)<a}={A若0<a≤1 由此易知结论成立 例3R”上的连续函数是 Borel可测函数(因而也是 Lebesgue可测函数).这是因为对 任意实数a,{x:f(x)<a}是R”中的开集,而开集是 Borel集,因此∫是 Borel可测的 例4设∫是定义在区间[a,b]上的单调函数.则∫是[a,b]上的 Borel可测函数.事 实上,对任意实数a,由于∫是单调的,容易知道集{x:f(x)<a}是区间,单点集或者空 集.总之,{x:∫(x)<a}是 Borel集.因此∫是 Borel可测的 下面的定理给出了可测函数的一些等价特征 定理2设(X,丌)为一可测空间,∫:X→>R是定义在X上的函数则以下(1)(4) (1)∫是可测函数 (2)对任意实数a,{x:f(x)≤a}∈界 (3).对任意实数a,{x:f(x)>a}∈ (4).对任意实数a,{x:f(x)≥a}∈ 此外,上面的()-(4)蕴涵 (5)对任意B∈(R),f-(B)∈ 若∫是实值函数,则(1)(5)是等价的 证明(1)→(2).因为∫可测故对任意实数a,{x:f(x)<a}∈.于是有 x:fx)≤a}=∩{xf(x)<a+l}∈T (2)→(3)这是因为 ∫(x)>a}={x:f(x)≤a}∈ (3)→(4)这是因为 x:f(x)≥a}=∩{x:f(x)>a-}∈J (4)→(1).这是因为 x:f(x)<a}={x:f(x)≥a}∈丌 因此,(1)(4)是等价的为证(1)(4)蕴涵(5),我们证明(2)→(5)

75 由于 X 和∅ 都是可测集, 故对任意实数 a, 总有{x : f (x) < a}∈F . 因此 f 是可测的. 例 2 设(X , F ) 为一可测空间, A ⊂ X. 则 A 的特征函数 A I 为可测函数当且仅当 A 为可测集. 这是因为, 对任意实数 a,      > < ≤ ∅ ≤ < = 1. 0 1 0 { : ( ) } X a A a a x I x a c A 若 若 若 由此易知结论成立. 例 3 n R 上的连续函数是 Borel 可测函数(因而也是 Lebesgue 可测函数). 这是因为对 任意实数 a, {x : f (x) < a}是 n R 中的开集, 而开集是 Borel 集, 因此 f 是 Borel 可测的. 例 4 设 f 是定义在区间[a,b]上的单调函数. 则 f 是[a,b]上的 Borel 可测函数. 事 实上, 对任意实数 a, 由于 f 是单调的, 容易知道集{x : f (x) < a}是区间, 单点集或者空 集. 总之, {x : f (x) < a}是 Borel 集. 因此 f 是 Borel 可测的. 下面的定理给出了可测函数的一些等价特征. 定理 2 设(X , F ) 为一可测空间, → ∗ f : X R 是定义在 X上的函数. 则以下(1) (4) 是等价的: (1). f 是可测函数. (2). 对任意实数 a, {x : f (x) ≤ a}∈F . (3). 对任意实数 a, {x : f (x) > a}∈F . (4). 对任意实数 a, {x : f (x) ≥ a}∈F . 此外, 上面的(1) (4)蕴涵 (5). 对任意 B ∈ ( ) 1 B R , ( ) . 1 ∈F − f B 若 f 是实值函数, 则(1) (5)是等价的. 证明 (1)⇒(2). 因为 f 可测,故对任意实数 a,{x : f (x) < a}∈F . 于是有 {x : f (x) ≤ a} = < + ∈ ∞ = }1 { : ( ) 1 n x f x a n I F . (2)⇒(3).这是因为 { : ( ) > } = { : ( ) ≤ } ∈F . c x f x a x f x a (3)⇒(4).这是因为 } . 1 { : ( ) } { : ( ) 1 ≥ = > − ∈F ∞ = I n n x f x a x f x a (4)⇒(1). 这是因为 { : ( ) < } = { : ( ) ≥ } ∈F . c x f x a x f x a 因此, (1) (4)是等价的. 为证(1) (4)蕴涵(5), 我们证明(2)⇒(5)

(2)→(5)令A={AcR:f(4)∈丌}.利用逆像的性质 f(An=U/-(A,), f-(4°)=(f(A) 容易证明是一个σ-代数.又令C是直线上左开右闭区间的全体容易证明 σ(C)=(R)(见第一章习题第42题)对任意左开右闭区间(a,b,我们有 f(a,b])={x:f(x)≤b}-{:f(x)≤a}∈ 故CcA,从而(R)=(C)cA,这表明对任意B∈(R),f-(B)∈丌 若∫是实值函数,我们还有 (5)→(1)设∫是实值函数.由于(-∞,a)是 Borel集,因此 {x:f(x)≤a}=f-(-∞,a)∈ 设∫是可测函数由于单点集{a}(a是实数)是 Borel集,因此由定理2(5)知道 {x:f(x)=a}=f-({a})是可测集同理,以下几个集也是可测的 {x:a<f(x)<b},{x:a≤f(x)≤b {x:a<∫(x)≤b},{x:a≤∫(x)<b} 此外,由于{x:f(x)=+∞}=∩x:f(x)>n,故{x:f(x)=+∞}是可测集.同理, {x:f(x)=-∞}也是可测集 可测函数的运算封闭性下面我们讨论可测函数类的运算封闭性为此,先对广义实 值函数的运算作一些规定.设∫和g是定义在X上的广义实值函数定义 f(x)+g(x)若右端有意义 f+g(x) 若f(x)=±,g(x)=千∝ (∫vgx)=max{f(x),g(x)},(f∧g)(x)=min{f(x),g(x)} 又设{fn}是一列广义实值函数定义 (sup f)(x)=supf,(),(limf)(x)=lim f,(x) 类似可定义函数店,cf(c是实数)itf和im厂等 设∫是定义在X上的函数.令 r-={(3若(0)20 若f(x)≥0 若f(x)<0. f(x)若f(x)<0

76 (2)⇒(5).令 { : ( ) } 1 1 A = ⊂ ∈F − A R f A . 利用逆像的性质 ( ) ( ), 1 1 1 1 U U ∞ = − ∞ = − = n n n f An f A ( ) ( ( )) , 1 c 1 c f A f A − − = 容易证明 A 是一个 σ − 代数. 又令C 是直线上左开右闭区间的全体. 容易证明 σ (C ) = ( ) 1 B R (见第一章习题第 42 题). 对任意左开右闭区间(a,b], 我们有 (( , ]) { : ( ) } {: ( ) } . 1 = ≤ − ≤ ∈F − f a b x f x b f x a 故C ⊂ A , 从而 ( ) 1 B R =σ (C ) ⊂ A . 这表明对任意 B ∈ ( ) 1 B R , ( ) . 1 ∈F − f B 若 f 是实值函数, 我们还有 (5)⇒ (1).设 f 是实值函数. 由于(−∞,a) 是 Borel 集, 因此 { : ( ) } (( , )) . 1 ≤ = −∞ ∈F − x f x a f a 设 f 是可测函数. 由于单点集{a} ( a 是实数)是 Borel 集, 因此由定理 2(5)知道 { : ( ) } ({ }) 1 x f x a f a − = = 是可测集. 同理, 以下几个集也是可测的: { : ( ) }, { : ( ) }. { : ( ) }, { : ( ) }, x a f x b x a f x b x a f x b x a f x b < ≤ ≤ < < < ≤ ≤ 此外, 由于 { : ( ) } { : ( ) }, 1 I ∞ = = +∞ = > n x f x x f x n 故 {x : f (x) = +∞} 是可测集. 同理, {x : f (x) = −∞}也是可测集. 可测函数的运算封闭性 下面我们讨论可测函数类的运算封闭性. 为此, 先对广义实 值函数的运算作一些规定. 设 f 和 g 是定义在 X 上的广义实值函数. 定义    = ±∞ = ∞ + + = . 0 ( ) , ( ) ( ) ( ) ( )( ) f x g x m f x g x f g x 若 若右端有意义 ( f ∨ g)(x) = max{ f (x), g(x)}, ( f ∧ g)(x) = min{ f (x), g(x)}. 又设{ }n f 是一列广义实值函数. 定义 (sup )( ) sup ( ), 1 1 f x f x n n n n≥ ≥ = (lim f )(x) lim f (x), n n n n→∞ →∞ = 类似可定义函数 fg, cf ( c 是实数), n n f f 1 , inf ≥ 和 n n f →∞ lim 等. 设 f 是定义在 X 上的函数. 令    < ≥ = + 0 ( ) 0. ( ) ( ) 0 f x f x f x f 若 若    − < ≥ = − ( ) ( ) 0. 0 ( ) 0 f x f x f x f 若 若

分别称函数∫和∫为∫的正部和负部(图1-2)f+和∫都是非负值函数,并且成立 等式 f-f,f=f*+f f(x) ∫(x) f(x) 图 为简单计,我们以后将集{x:f(x)<a}简写成{∫<a},将集{x:f(x)≤g(x)}简 写成{∫≤g}等等 定理3设∫和g是两个可测函数则函数(c是实数)f+g,/,团f,fg 和∫∧g都是可测函数 证明(1)若c=0,则Cf≡0.此时Cf当然是可测函数当c≠0时,对任意实数 {f<2}若 若c<0 等式右边的集都是可测集.因此cf是可测函数 (2)先设∫和g不取异号∞为值.设{rn}是有理数的全体.由于∫+g<a当且仅 当存在rn使得∫<并且g<a-rn因此 f+ga=UC<rio(g<a-r)) 由上式∫和g的可测性知道{∫+g<a}是可测集.因此∫+g是可测函数.再考虑一般 情形.令

77 分别称函数 + f 和 − f 为 f 的正部和负部(图 1 2). + f 和 − f 都是非负值函数, 并且成立 等式 , . + − + − f = f − f f = f + f 图 1 2 为简单计, 我们以后将集{x : f (x) < a}简写成{ f < a}, 将集{x : f (x) ≤ g(x)} 简 写成{ f ≤ g}等等. 定理 3 设 f 和 g 是两个可测函数. 则函数 cf (c 是实数), f + g , fg , f , f ∨ g 和 f ∧ g 都是可测函数. 证明 (1). 若 c = 0, 则 cf ≡ 0. 此时 cf 当然是可测函数. 当 c ≠ 0 时, 对任意实数 a , 有      > < < > < = { } 0. { } 0 { } c c a f c c a f cf a 若 若 等式右边的集都是可测集. 因此cf 是可测函数. (2). 先设 f 和 g 不取异号 ∞ 为值. 设{ }nr 是有理数的全体. 由于 f + g < a 当且仅 当存在 nr 使得 n f < r 并且 . n g < a − r 因此 { } ({ } { }). 1 U ∞ = + < = < ∩ < − n n n f g a f r g a r 由上式 f 和 g 的可测性知道{ f + g < a}是可测集. 因此 f + g 是可测函数. 再考虑一般 情形. 令 X Y f (x) O f (x) + f (x) −