习题三 在以下各题中,可测集,可测函数和测度,除题目中已有说明的外,都是关于某一给 定的可测空间(X,分)或测度空间(X,,p)的 1.试分别给出具有如下性质的可测空间(X,) (1)X上的每个函数都是可测的 (2)只有常数函数是可测的 2.证明:(1)若∫在E上可测,则对E的任意可测子集A,∫在A上可测 (2).若E1和E2是可测集,∫在E1和E2上可测,则∫在E1∪E2上可测 3.设∫是R上的函数证明∫是L可测的当且仅当对任意有理数r,{f<r}是 L可测集.若把条件减弱为对任意有理数r,{∫=r}是L可测集,∫是否一定是L可测的? 4.设∫和g都是可测函数,并且g(x)处处不等于零.证明是可测函数 5.作出1上的一个函数f使得是L可测的,但∫不是L可测的 6.证明若∫2可测,{f≥0}是可测集则∫可测 7.设∫为完备的测度空间(X,,)上的可测函数,g为X上的函数.若 f=gae,则g是可测函数当(X,J,)不完备时,结论是否成立? 8.证明函数 x3若x为有理数 √x若x为无理数 是[O,1上的L可测函数 9.设f是(X,丌)上的实值可测函数,g是R上的 Borel可测函数证明复合函数 g((x))是(X,)上的可测函数 10.设∫和g是(x,)上的两个实值可测函数,h是R2上的连续函数,证明复合函 数h(,g)是(X,J)上的可测函数 11.设∫是定义在(a,b)上的函数若∫在每个[a,Bc(a,b)上是L可测的,则 ∫在(a,b)上是L可测的 12.设∫是[a,b]上的可微函数.证明∫是[a,b]上的L可测函数 13.设∫是R上的L可测函数证明对任意y∈R",f(x+y)是R”上的L可测 提示:先设∫=lA是特征函数 14.举例说明,一族可测函数{f∈}的上确界函数∫=Supf不一定可测 15.举例说明,若∫是R上的L可测函数,A是R中的L可测集,f-(4)不
93 习 题 三 在以下各题中, 可测集, 可测函数和测度, 除题目中已有说明的外, 都是关于某一给 定的可测空间(X , F ) 或测度空间(X , F ,µ) 的. 1. 试分别给出具有如下性质的可测空间(X , F ): (1) X 上的每个函数都是可测的. (2) 只有常数函数是可测的. 2. 证明: (1).若 f 在 E 上可测, 则对 E 的任意可测子集 A , f 在 A 上可测. (2). 若 E1和 E2 是可测集, f 在 E1和 E2 上可测, 则 f 在 E1 ∪ E2 上可测 3. 设 f 是 1 R 上的函数. 证明 f 是 L 可测的当且仅当对任意有理数 r, { f < r}是 L 可测集. 若把条件减弱为对任意有理数 r, { f = r}是 L 可测集, f 是否一定是 L 可测的? 4. 设 f 和 g 都是可测函数, 并且 g(x) 处处不等于零. 证明 g f 是可测函数. 5. 作出[0,1]上的一个函数 f, 使得 f 是 L 可测的, 但 f 不是 L 可测的. 6. 证明若 2 f 可测, { f ≥ 0}是可测集. 则 f 可测. 7. 设 f 为完备的测度空间 (X , F ,µ) 上的可测函数, g 为 X 上的函数. 若 f = g a.e., 则 g 是可测函数. 当(X , F ,µ) 不完备时, 结论是否成立?. 8. 证明函数 = . , ( ) 3 若 为无理数 若 为有理数 x x x x f x 是[0, 1]上的 L 可测函数. 9. 设 f 是(X , F ) 上的实值可测函数, g 是 1 R 上的 Borel 可测函数. 证明复合函数 g( f (x)) 是(X , F ) 上的可测函数. 10. 设 f 和 g 是(X , F ) 上的两个实值可测函数, h 是 2 R 上的连续函数. 证明复合函 数 h( f , g) 是(X , F ) 上的可测函数. 11. 设 f 是定义在(a,b)上的函数. 若 f 在每个[α, β ] ⊂ (a,b) 上是 L 可测的, 则 f 在(a,b)上是 L 可测的. 12. 设 f 是[a,b]上的可微函数. 证明 f ′是[a,b]上的 L 可测函数. 13. 设 f 是 n R 上的 L 可测函数. 证明对任意 y ∈ , n R f (x + y) 是 n R 上的 L 可测 函数. 提示: 先设 A f = I 是特征函数. 14. 举例说明, 一族可测函数{ f : t I} t ∈ 的上确界函数 t t I f f ∈ = sup 不一定可测. 15. 举例说明, 若 f 是 1 R 上的 L 可测函数, A 是 1 R 中的 L 可测集, ( ) 1 f A − 不
定是L可测集 提示:利用§31例6中的结果 16.设(X,)是一可测空间,f(x,1)是定义在X×[O,1上的函数若对每个 t∈[0,1],f(x,1)对x可测,对每个x∈X,∫(x,1)对t连续,证明g(x)=maxf(x,t) 是可测函数 17.证明§3.1定理7和定理 18.设∫和g是定义在R上的两个连续函数证明若∫和g(关于L测度)几乎处 处相等,则∫和g处处相等 19.设∫和g是(0,1)上单调减少的左连续函数.若对任意c∈R总有 m({f≥c})=m({g≥c}),证明∫(x)=g(x),x∈(0,1) 20.设/是有限测度空间(x,,)上的ae有限的可测函数.证明对任意δ>0,存 在可测集ACX,使得m(X-A3)<δ,并且在A3上,∫有界 21.设{n}是一列可测函数.证明A={x: lim f, c(x)存在并且有限}是可测集 22.设(厂n)是可测函数列证明 (1)若fn->f,ng,则f=g,ae 若fn-“>f,厂n->g,则∫=g 23.证明:(1)若fn=>f,则f->∫ (2)若fn—题→f,则fn 24.证明若∫—“>f,则 lim f≤f≤ lim f,,ae. 25.证明若fn-“>f,gn>g,则 (1)f" (2)afn-“>af.(a是常数) (3)Jn+gn-→f+g ).若(X) g g 26.设∫n∫,fn≤fae.(n≥1)证明fn->f 27.设{E}是一列可测集使得∑川(Ek)<+∞,若在每个Ek上fn→f,证明 在E=UEk上fn-2>∫ 28.设∫是几乎处处有限的可测函数.证明存在有界可测函数列{fn},使得 fr
94 一定是 L 可测集. 提示: 利用 3.1 例 6 中的结果.. 16. 设(X , F ) 是一可测空间, f (x,t) 是定义在 X ×[0, 1]上的函数. 若对每个 t ∈[0, 1], f (x,t) 对 x 可测, 对每个 x ∈ X , f (x,t) 对t 连续, 证明 ( ) max ( , ) 0 1 g x f x t ≤t≤ = 是可测函数. 17. 证明 3.1 定理.7 和定理.8. 18. 设 f 和 g 是定义在 1 R 上的两个连续函数. 证明若 f 和 g (关于 L 测度)几乎处 处相等, 则 f 和 g 处处相等. 19. 设 f 和 g 是(0,1) 上单调减少的左连续函数. 若对任意 c ∈ 1 R 总有 m({ f ≥ c}) = m({g ≥ c}), 证明 f (x) = g(x), x ∈ (0,1). 20. 设f是有限测度空间(X , F ,µ) 上的a.e.有限的可测函数. 证明对任意δ > 0, 存 在可测集 A ⊂ X , δ 使得 ( ) δ , m X − Aδ < 并且在 Aδ 上, f 有界. 21. 设{ }n f 是一列可测函数. 证明 A {x :lim f (x) n n→∞ = 存在并且有限}是可测集. 22. 设( ) n f 是可测函数列. 证明: (1) 若 , , , a.e. a.e. a.e. f f f g f g n → n → 则 = (2) 若 f f , f g, n →µ n →µ 则 f = g, a.e. 23. 证明: (1) 若 , a.un. f f n → 则 . a.e. f f n → (2) 若 , a.un. f f n → 则 f f . n →µ 24. 证明若 f f , n →µ 则 lim lim , a.e. n n n n f f f →∞ →∞ ≤ ≤ 25. 证明若 f f , g g, n →µ n →µ 则 (4). ( ) , . (3). . (2). . ( ) (1). , X f g fg f g f g f f f f n n n n n n < +∞ → + → + → → µ µ µ µ µ α α α 若 则 是常数 26. 设 f f , n →µ a.e. ( 1). f n ≤ f n+1 n ≥ 证明 . a.e. f f n → 27. 设{ } Ek 是一列可测集使得 ( ) . 1 ∑ ∞ = < +∞ k µ Ek 若在每个 Ek 上 f f , n →µ 证明 在 U ∞ = = k 1 E Ek 上 f f . n →µ 28. 设 f 是几乎处处有限的可测函数. 证明存在有界可测函数列{ }, n f 使得 f f . n →µ
29.设F是R"中的闭集试作R”上的连续函数列{},使得 limf(x)=l1(x),x∈R 提示先作一列开集Gk,使得F=∩G 30.设∫是定义在[a,b]上的ac有限的L可测函数.证明存在[a,b]上的一列连续 函数{8n},使得gn→fae,并且sup9n(x)≤Sup(x),n21 31.设∫是定义在L可测集EcR上的函数若对任给的d>0,存在闭集 F6∈E,使得m(E-F。)<δ,并且∫在F上连续.则∫是E上的L可测函数
95 29. 设 F 是 n R 中的闭集. 试作 n R 上的连续函数列{ }, k f 使得 lim f (x) I (x), k F k = →∞ x ∈ . n R 提示: 先作一列开集{ }, Gk 使得 . 1 I ∞ = = k F Gk 30. 设 f 是定义在[a,b]上的 a.e.有限的 L 可测函数. 证明存在[a,b]上的一列连续 函数{ }, n g 使得 g f a.e., n → 并且 sup ( ) ≤ sup ( ) , ≥ 1. ≤ ≤ ≤ ≤ g x f x n a x b n a x b 31. 设 f 是定义在 L 可测集 E ⊂ n R 上的函数. 若对任给的δ > 0, 存在闭集 F ⊂ E, δ 使得 ( ) δ , m E − Fδ < 并且 f 在 Fδ 上连续. 则 f 是 E 上的 L 可测函数