3)随机变量函数的数学期望 定理1设X是随机变量，Y=gX),且E(gX)存在，则： (1)若X为离散型，P(X=xFPn,n=1,2,,则E(g(X)》=∑g(x,)p n (2)若X为连续型随机变量，X~x),则E(g(X》=g(x)f(x)k 例如 X-1012 P02010.40.3 则 EX2=∑xiP. =(-1)2×0.2+02×0.1+12×0.4+22×0.3=1.8 返回
返回 定理1 设X是随机变量,Y=g(X),且E(g(X))存在,则; (1)若X为离散型,P(X=xn)=pn ,n=1,2,...,则 n n pn E(g(X )) g(x ) (2)若X为连续型随机变量,X~f(x),则 E( g( X )) g( x )f ( x )dx (3) 随机变量函数的数学期望 例如 X -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.4 0.3 则 ( 1) 0.2 0 0.1 1 0.4 2 0.3 1.8 2 2 2 2 2 2 n EX xn pn
例7设随机变量X服从[0，]的均匀分布，求 E(sin X),E(X2),E(X-EX) 解由题意得 X~f(x)={π x∈[0，] 其它 据定理得 E(sin X)=(sin x)f(x)dx =f(sin x)dx 2- Ex)=-- 3 E(X-)(f)d -r如 12 返回
返回 例7 设随机变量X服从[0,π]的均匀分布,求 2 2 E(sin X ),E(X ),E(X EX ) 解 由题意得 2 dx 1 E(sin X) (sin x)f(x)dx (sin x) 0 0 其它 [0, ] 1 ~ ( ) x X f x 据定理得 3 1 ( ) ( ) 2 0 2 2 2 E X x f x dx x dx E X EX E X x ) f (x)dx 2 ) ( 2 ( ) ( 2 2 2 12 1 ) 2 ( 2 0 2 x dx
例8设国际市场每年对我国某种商品的需求量 为随机变量X(单位：吨)，它服从[2000,4000]上的均匀分布，已 知该商品每售出1吨获利3万美元，若销售不出去，每吨将损 失各种费用1万美元，问如何组织货源可使收益最大？ 解设y为组织的货源数量，Y为收益，则 3y X≥y其中X~f(x)= x∈[2000,4000] Y=g(X)= {2000 3X-(y-X)X<y 0 其它 E(Y)=g(x)f(x)dx 4000 2000 2 g(x)dx 4000 令(EY)'=0得y=3500,由实际情况知EY存在最大值， 所以组织3500吨货源可使收益最大 返回
返回 例8 设国际市场每年对我国某种商品的需求量 为随机变量X(单位:吨),它服从[2000,4000]上的均匀分布,已 知该商品每售出1吨获利3万美元,若销售不出去,每吨将损 失各种费用1万美元,问如何组织货源可使收益最大? 解 设y为组织的货源数量,Y为收益,则 X y X X y y X y Y g X 3 ( ) 3 ( ) 其中 0 其它 [2000,4000] 2000 1 ~ ( ) x X f x 4000 2000 ( ) 2000 1 E(Y) g(x) f (x)dx g x dx 4000 2000 3 2000 1 (4 ) 2000 1 y y x y dx ydx ( 7000 4 10 ) 1000 1 2 6 y y 令（EY） 0得 y 3500，由实际情况知EY存在最大值, 所以组织3500吨货源可使收益最大
(4)数学期望的性质 ①E(C)=C(C为常数) ②E(aX+b)=aEX+b 证明②连续型设X~fx),则 E(ax+b)=(ax+b)f(x)dx =axf(x)dc+bf(x)de=aEX+b 返回
返回 ①E(C)=C(C为常数) ② E(aX+b)=aEX+b 证明 ②连续型 设X~f(x),则 E(aX b) (ax b) f (x)dx a xf x dx b f x dx aEX b ( ) ( ) (4) 数学期望的性质
课堂练习 1.已知随机变量X服从参数为1/2的指数分布，则随机 变量Z=3X-2的数学期望E(Z)=() 解1.EZ=3EX-2=4 返回
返回 1. 已知随机变量 X服从参数为1/2的指数分布，则随机 变量 Z=3X-2的数学期望E（Z）=（ ）。 解 1. EZ=3EX-2=4 课堂练习