X 1000 例3某电子元件使用寿命X~f(x)=1000 x>0 x≤0 使用寿命在500小时以下为废品，产值0元，500到1000小时之 间为次品，产值10元，1000到1500小时之间为二等品，产值30 元；1500小时以上为一等品，产值为40元，求产品的平均产值 解设Y表示产值，Y取值为0,10,30,40， (Y-)=PX500)00=- PY=10FP503X<100)-7002m=e5-e 类似可得：P(Y=30)=e-l-e-1.5, PY=40)=e-1.5 EY=0×(1-e0.5)+10×(e-0.5-e1+30×(e-1-e-15)t40×e-1.s =15.65(元) 返回
返回 例3 某电子元件使用寿命X~ 0 0 0 1000 1 ( ) 1000 x e x f x x 使用寿命在500小时以下为废品,产值0元;500到1000小时之 间为次品,产值10元;1000到1500小时之间为二等品,产值30 元;1500小时以上为一等品,产值为40元,求产品的平均产值. 解 设Y表示产值,Y取值为0,10,30,40, P(Y=0)= P(X<500) 500 f ( x )dx 500 0 1000 x e dx 1000 1 =1-e -0.5 P(Y=10)= P(500≤X<1000) 1000 500 1000 x e dx 1000 1 =e -0.5-e -1 类似可得: P(Y=30)=e -1-e -1.5 , P(Y=40)=e -1.5 EY=0× (1-e -0.5)+10 × (e -0.5-e -1 )+30×( e -1-e -1.5 )+40× e -1.5 =15.65(元)
(2)连续型随机变量的数学期望 定义设X是连续型随机变量，Xfx),若f(x)d 绝对收敛，则称该积分为X的数学期望，记为： EX= (x)d 否则称X的数学期望不存在 例4若X服从[a,b]区间上的均匀分布，求EX 解 X~f(x)=b-a x∈[a,b] 其它 所以N-0x-，。62a 11 a+b a 2 返回
返回 定义 设X是连续型随机变量,X~f(x),若 xf ( x )dx 绝对收敛,则称该积分为X的数学期望,记为: EX= xf ( x )dx 例4 若X服从[a,b]区间上的均匀分布,求EX. 0 其它 [ , ] 1 ~ ( ) x a b X f x b a 所以 EX= xf ( x )dx b a dx b a 1 x a b x 2 1 b a 1 2 2 a b 解 否则称X的数学期望不存在. (2) 连续型随机变量的数学期望
例5设随机变量X服从参数为，的指数分布，求EX. x>0 解 X的概率密度函数为f(x)= 0 x≤0 所以，X=f(x=xek=-xde产) x-→+0 edx lim-- 类似计算可得：若X~N(,o2),则EX=u 返回
返回 例5 设随机变量X服从参数为λ的指数分布,求EX. 解 X的概率密度函数为 0 0 0 ( ) x e x f x x 所以, EX= xf ( x )dx 0 xe dx x 0 xe 0 e dx x x 0 1 e dx x 类似计算可得: 若X~N(μ,σ2), 则EX= μ. 1 0 x xd( e ) x x e x lim x x e 1 lim 0 1 e dx x
计算可得 X~U[a,b] a+b 2 X~E(入) 1 EX X-N(u,c2) EX=μ 返回
返回 计算可得 X~U[a,b] EX 2 a b X~E(λ) EX X~N(μ,σ2) 1 EX= μ
例6设随机变量X~fx),EX=7/12,且 f(x)= ax+b0≤x≤1 求a与b的值，并求分布函数F(x) 10 其它 解 /)k=a+bk=号+b=1 2 E以-fs-a+b-9 b 7 32 12 解方程组得a=1,b=1/2 当x<0时，F(x)=O;当x之1时，F(x)=1: 当0x<1时， na-或-w +2 x<0 所以F(x)= 0≤x<1 2 2 x≥1 返回
返回 例6 设随机变量X~f(x),EX=7/12,且 0 其它 0 1 ( ) ax b x f x 求a与b的值,并求分布函数F(x). 解 1 2 ( ) ( ) 1 0 b a f x dx ax b dx 12 7 3 2 ( ) ( ) 1 0 a b EX xf x dx x ax b dx 解方程组得 a=1,b=1/2 当x<0时,F( x)=0; 当0≤x<1时, 2 2 ) 2 1 ( ) ( ) ( 2 0 x x F x f t dt t dt x x 当x≥1时,F(x)=1; 所以 1 1 0 1 2 2 0 0 ( ) 2 x x x x x F x