第4.2节 随机变量的方差 (1)方差的基本概念和性质 定义设X为随机变量，EX存在，如果EX-EX)2存在，则称 EX-EX)2为X的方差，记为：DX=EX-EX)2 特别，称√Dx为X的标准差 注意方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度 由定理1（随机变量函数的数学期望）可得 若X为离散型随机变量，PX=xn=p,n=1,2,…,则 DX=E(X-EX2=∑(xn-EX)p。 若X为连续型随机变量，X~x),则 DX=E(X-EX)2=(x-EX)f(x)dx 返回
返回 定义 设X为随机变量,EX存在,如果E(X-EX) 2存在,则称 E(X-EX) 2为X的方差,记为: DX= E(X-EX) 2 特别,称 DX 为X的标准差. 注意 方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度. 由定理1(随机变量函数的数学期望)可得 ① 若X为离散型随机变量,P(X=xn)=pn ,n=1,2,...,则 DX= E(X-EX) 2 n n 2 ( x n EX ) p ② 若X为连续型随机变量,X~f(x),则 DX= E(X-EX) 2 ( x EX ) f( x )dx 2 (1)方差的基本概念和性质 第4.2节 随机变量的方差
方差的性质 ①D(C)=O ② D(ax)=a2D(X) D(X+b)=DX 4 DX=EX2-(EX)2(常用于计算方差 证明 2 D(ax)=E[aX -E(ax)2 =E[a(X-EX)2 =a2E(X-EX)2=a2D(X) ④ DX=E(X-EX)2=EX2-2X(EX)+(EX)P](注：EX是常数) =EX2-E[2X(EX)+E(EX)2=EX2-2(EX)(EX)+(EX)2 =EX2-(EX)2 返回
返回 ① D(C)=0 ② D(aX)=a 2D(X) ③ D(X+b)=DX ④ DX=EX2-(EX) 2 (常用于计算方差) ② D(aX)=E[aX -E(aX)] 2 =E[a(X-EX)] 2 =a 2E(X-EX) 2 =a 2D(X) ④ DX= E(X-EX) 2=E[X2-2X(EX)+(EX) 2] =EX2-E[2X(EX)]+E(EX) 2 =EX2-2(EX)(EX)+(EX) 2 =EX2-(EX) 2 (注:EX是常数) 证明 方差的性质
0≤x<1 例9设X~f(x)=2-x1<x<2,求EX,DX 0 其它 解(1)EX=(x)d=xx+∫x2-x) (2)E(X2)xf(x) =x+∫x(2-xd=76 所以，DX=EX2-(EX)2=7/6-1=1/6 返回
返回 例9 设X~ 0 其它 2 x 1 x 2 x 0 x 1 f ( x ) ,求EX,DX. 解 (1)EX= xf ( x )dx 2 1 1 0 x xdx x( 2 x )dx 1 2 x ) 3 1 ( x 0 1 x 3 1 3 2 3 =1 (2)E(X2)= x f ( x )dx 2 2 1 2 1 0 3 x dx x ( 2 x )dx =7/6 所以, DX=EX2-(EX) 2 =7/6-1=1/6
计算可得 (1)若X服从参数为p的0-1分布，则DX=p(1-p) (2)若X~B(np),则DX=np(1-p)） (3)若X服从参数为入的泊松分布，则DX=) (4)若X服从[a,b]的均匀分布，则 DX- (b-a片 12 (5)若X服从参数为的指数分布，则 DX= (6)若XN(,2),则DX=σ2 返回
返回 计算可得 (1)若X服从参数为p的0-1分布,则DX=p(1-p) (2)若X~B(n,p),则DX=np(1-p) (3)若X服从参数为λ的泊松分布,则DX= λ (4)若X服从[a，b]的均匀分布,则 DX= 12 ( b a ) 2 (5)若X服从参数为λ的指数分布,则 DX= 2 1 (6)若X ~N(μ,σ2),则DX= σ2