第6节 第九章 高斯公式与斯托克斯公式 高斯公式 二、 斯托克斯公式 三、空间曲线积分与路径无关的条件 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 第6节 一、高斯公式 二、斯托克斯公式 三、空间曲线积分与路径无关的条件 高斯公式与斯托克斯公式 第九章
高斯公式 定理1设空间闭区域2由分片光滑的闭曲 面所围成，的方向取外侧，函数P,Q,R在 2上有一阶连续偏导数，则有 dv=Pdyd=+Qd=dx+Rdxdy dV-(Pcosa+OcosB+Rcosy)dS. 这里是2的整个边界曲面的外侧，cosa,cosB,cosy 是上点x,y,处的法向量的方向余弦.公式叫做 高斯公式 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、高斯公式 定理1 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 上有一阶连续偏导数 , = + + Pd y d z Qd z d x Rdxd y 面 所围成, 函数 P, Q, R 在 则有 高斯 的方向取外侧, 这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cosα，cosβ，cosγ 是Σ上点(x，y，z)处的法向量的方向余弦．公式叫做 高斯公式．
证明设2：z1(x,y)≤z(x,y)≤22(x,y),(x,y)∈Dx 称为XY-型区域，∑=马U2U3,:z=1(x,), 2:2=22(x,),则 m2ar-.小aay =n{Rxa -R(x,y,z(x,y))}dxdy Rdxdy=()Rdxdy -dxdy BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 2 3 1 z y x Dxy O R(x, y, ) − R(x, y, ) d xd y : ( , ), 1 1 z = z x y 证明: 设 , = 1 2 3 = Dxy ( , ) 2 z x y ( , ) 1 z x y Rd xd y 2 1 ( , ) ( , ) d d d x y z x y D z x y R z x y z = ( = 2 d R V z + 1 + 3 )Rd xd y 称为XY -型区域 , : ( , ), 2 2 z = z x y 则 R(x, y, )dxdy − Dxy = Dxy ( , ) 2 z x y R(x, y, ( , ))d xdy 1 z x y
所以 8ar-联.Rd 若2不是Y-型区域，则可引进辅助面 将其分割成若干个Y型区域，在辅助面 正反两侧面积分正负抵消，故上式仍成立 类似可证 Pdvd 号r-.9=d 三式相加，即得所证Gauss公式： 然*器+ )dv -fPdyd=+Qd=dx+Rdxdy BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 所以 d R V z R x y z x y ( , , )d d . = 若 不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 . 在辅助面 类似可证 d Q V y = + + Pd y d z Qd z d x Rd xdy ( )d P Q R V x y z + + = Qd z d x d P V x = Pd y d z 三式相加, 即得所证 Gauss 公式：
例9.6.1用高斯公式计算月(x-y)dxdy+(y-z)xdydz 其中y为柱面x2+y2=1及平面：=0，：=3所围空间 闭域2的整个边界曲面的外侧 解：这里P=(y-z)x,Q=0,R=x-y 利用高斯公式，得 原式=j川oy-z)dxdydz 利用质心公式，注意y=0,2=多 o-30 dxdydz=- 元 2 思考：若改为内侧，结果有何变化？ 若Σ为圆柱侧面取外侧，如何计算？ BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 x 3 z 1 y 例9.6.1 用高斯公式计算 其中 为柱面 闭域 的整个边界曲面的外侧. 解: 这里 利用高斯公式, 得 原式 = P = (y − z)x, Q = 0, R = x − y 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算? 利用质心公式, 注意 2 3 y = 0,z = O