第3为 第十一章 高阶微分方程的解法 可降阶的高阶微分方程 二、二阶线性微分方程解的结构 三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 四、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 五、二阶线性微分方程举例 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS e-0-0 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 高阶微分方程的解法 第3节 一、可降阶的高阶微分方程 二、二阶线性微分方程解的结构 三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 第十一章 四、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 五、二阶线性微分方程举例
一、可降阶的高阶微分方程 1.ym=f(x)型的微分方程 令=ym-),则=ym=fw),因此 dx :=∫f(x)dr+C 即 y-D=∫fcw)dr+C 同理可得y-2=[f(x)dxr+C]dx+C2 [[ff(x)dx ]dx +Cx+C2 依次通过n次积分，可得含n个任意常数的通解 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、可降阶的高阶微分方程 ( ) 1. ( ) n y f x = 型的微分方程 令 , ( −1) = n z y 因此 d 1 z = f (x) x +C 即 同理可得 2 ( 2) y dx C n = + − dx = 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . 1 C2 +C x +
例11.3.1 求微分方程y"=ex+cosx的通解 解：y"=-e'+sinx+C1g y'=c*-cosx+Gx+C2, y=-e*-sinx+ +Cxx+C 2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS ●-0-C④8 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例11.3.1 求微分方程 解: 1 e sin , x y x C − = − + + 1 2 e cos , x y x C x C − = − + + 1 2 2 3 e sin . 2 x C y x x C x C − = − − + + +
2y”=(x,y型的微分方程 设y=p,则y”=p,原方程化为一阶方程 p'=f(x,p) 设其通解为 p=(x,C) 则得 y'=0(x,C1) 再一次积分，得原方程的通解 y=@(x.Ci)dx+C2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 2. ( , ) y f x y = 型的微分方程 设 y p = , 原方程化为一阶方程 设其通解为 ( , ) C1 p = x 则得 ( , ) C1 y = x 再一次积分, 得原方程的通解 1 d 2 y = (x,C ) x +C
例11.3.3设有一均匀，柔软的绳索，两端固定， 绳索仅受 重力作用而下垂，问该绳索的平衡状态是怎样的曲线？ 解：取坐标系如图.考察最低点A到 任意点M(x,y)弧段的受力情况： A点受水平张力五 M点受切向张力T ugs 弧段重力大小4gS(:密度，s:弧长〉 按静力平衡条件，有Tcos0=H,Tsin0=4gs 两式相除得 tan O sa=hg） 故有y=1+y2dx一y=号 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例11.3.3 绳索仅受 重力作用而下垂, 解: 取坐标系如图. 考察最低点 A 到 弧段重力大小 (μ: 密度, s :弧长) 按静力平衡条件, 有 M gs ( ) a H g = y y x x 1 d 0 2 + a 1 故有 = 2 1 1 y a y = + 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: T A 点受水平张力 H M 点受切向张力T 两式相除得 H A y O x