第2节 第十一章 一阶微分方程的解法 可分离变量的微分方程 二、齐次微分方程 三、一阶线性微分方程 四、伯努利方程 五、全微分方程 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 一阶微分方程的解法 第2节 一 、可分离变量的微分方程 第十一章 二、齐次微分方程 三、一阶线性微分方程 四、伯努利方程 五、全微分方程
可分离变量的微分方程 形如 f(x)g(y)的方程，称为可分离变量的微分方程 dx 在gy)0时，方程可化为 f(x)dx. 8(y) 它的特点是一端只含的函数和dy,另一端只含x的函 数和dx.这种方程称为变量已分离的微分方程.转化 方程的过程称为分离变量 设y=p(x)是方程的解，那么 (x) dx f(x)dx glo(x)] 将上式两积粉，得。心 dx=Jf(x)dx+C. 其中C是任意常数 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 d ( ) ( ) d y f x g y x 形如 = 的方程，称为可分离变量的微分方程． 它的特点是一端只含y的函数和dy，另一端只含x的函 数和dx.这种方程称为变量已分离的微分方程．转化 方程的过程称为分离变量． 设y＝ (x) 是方程的解，那么 其中 C是任意常数． 将上式两端积分，得 在g(y)≠0时，方程可化为 一、可分离变量的微分方程 d ( )d . ( ) y f x x g y = '( ) d ( )d . [ ( )] x x f x x g x = '( ) d ( )d , [ ( )] x x f x x C g x = +
例11.2.1求微分方程 0-2w 的通解 解：当0时，分离变量得 dy=2xdx, 两端积分∫-∫2xd 得 In y =x2+C. 即 y=±ex+G=±eS9e 令C=±eSi≠0 y=Ce(C为任意常数) (此式含分离变量时丢失的解y=0) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例11.2.1 求微分方程 的通解. 解:当y≠0时，分离变量得 d 2 d , y x x y = 两端积分 得 2 1 ln . y x C = + 即 1 e 0 C 令C = ( C 为任意常数 ) ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
例11.2.3设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 成正比，并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0，求 降落伞下落速度与时间的函数关系 dv 解：根据牛顿第二定律列方程 m mg -kv dt 初始条件为v,=0=0 对方程分离变量，然后积分： 得-n(mg-k)=+C (此处mg-kv>0) k m 利用初始条件，得C=-ln(mg） t 足够大时 V≈ mg 代入上式后化简，得特解v= m8(1-e m BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例11.2.3 成正比, 求 解: 根据牛顿第二定律列方程 = t v m d d 初始条件为 v t=0 = 0 对方程分离变量, 然后积分 : 得 (此处 mg − kv 0) 利用初始条件, 得 ln ( ) 1 mg k C = − 代入上式后化简, 得特解 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, (1 e ) t m k k m g v − = − mg − kv 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. k mg v t 足够大时
二、齐次微分方程 形如 =p(当 的方程叫做齐次方程 解法： 令w=y,则y=x, du =2u+x X dx 代入原方程得 du u+x dx =p() du dx 分离变量： p(u）-u X 两边积分，得 积分后再用∑代替4，便得所给齐次方程的通解 x BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 二、齐次微分方程 形如 的方程叫做齐次方程 . 令 , x y u = 代入原方程得 ( ) d d u x u u + x = x x u u u d ( ) d = − 两边积分, 得 = − x x u u u d ( ) d 积分后再用 代替 u, 便得所给齐次方程的通解. 解法: 分离变量: