第5节 第九章 对望标的曲面积分 对坐标的曲面积分的概念与性质 二、对坐标的曲面积分的算法 三、两类曲面积分之间的联系 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS -Q 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 第5节 一、 对坐标的曲面积分的概念与性质 二、对坐标的曲面积分的算法 三、两类曲面积分之间的联系 对坐标的曲面积分 第九章
一、对坐标的曲面积分的概念与性质 1.几个名词 双侧曲面 ·曲面分类 曲面分内侧和 单侧曲面 外侧 莫比乌斯带 曲面分左侧和 曲面分上侧和 (单侧曲面的典型 右侧 下侧 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、 对坐标的曲面积分的概念与性质 • 曲面分类 双侧曲面 单侧曲面 莫比乌斯带 曲面分上侧和 下侧 曲面分内侧和 外侧 曲面分左侧和 (单侧曲面的典型) 右侧 1.几个名词
•指定了侧的曲面叫有向曲面。其方向用法向量指向 表示 方向余弦 cos a cos cos y 封闭曲面 >0为前侧 >0为右侧 >0为上侧 外侧 侧的规定 <0为后侧 <0为左侧<0为下侧 内侧 ·设Σ为有向曲面，其面元△S在xOy面上的投影记为 (AS)xy,(AS)xy的面积为（△o)xy≥0，则规定 (△o)xy, 当cosy>0时 (AS)-(Ac 类似可规定 当cosy<0时 (AS)(AS) 当cosy=0时 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 其方向用法向量指向 方向余弦 cos cos cos > 0 为前侧 < 0 为后侧 封闭曲面 > 0 为右侧 < 0 为左侧 > 0 为上侧 < 0 为下侧 外侧 内侧 • 设 为有向曲面, ( ) , S xy S (S) xy = 侧的规定 • 指定了侧的曲面叫有向曲面, 表示 : 其面元 在 xOy 面上的投影记为 的面积为 则规定 ( ) , xy ( ) , − xy 0 , 当cos 0时 当cos 0时 当cos 0时 类似可规定 S yz S zx ( ) , ( )
2.引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为 (x,y,z)=P(x,y,z)i+e(x,y,z)j+R(x,y,z)k 求单位时间流过有向曲面Σ的流量Φ 分析：若∑是面积为A的平面， 法向量：n=(cosa,cosB,cosY） 流速为常向量：下 则流量 =4vcos0 Av.n BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为 求单位时间流过有向曲面 的流量 . A 分析: 若 是面积为A 的平面, 则流量 法向量: 流速为常向量: n v 2. 引例
对一般的有向曲面∑，对稳定流动的不可压缩流体的 速度场V=(P(x,y,2),Q(x,y,),R(x,y,2) 用"分割，近似，求和，取极限' 进行分析可得”=∑可·万S i= 设，=(cosa,cos阝，cosyi),则 lim >[P(Si,m,5i)cosa;+2(5)cosB 2→0=1 +R(5,7,5i)cos,]AS, lim λ→0 IP(5(AS5(AS i=1 +R(5,7,5i)△S,)xy] BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 Σ 对一般的有向曲面 , 用“分割, 近似, 求和, 取极限” = n i 1 0 lim → = 0 lim → = = n i 1 P i i i i ( , , )cos R i i i i + ( , , )cos 0 lim → = = n i 1 Q i i i i + ( , , )cos Si 对稳定流动的不可压缩流体的 速度场 进行分析可得 ni i v i ni Si v (cos , cos , cos ) ni i i i 设 = , 则