第七届“学用杯”全国数学知识应用竞赛九年级初赛试题（A）卷（本卷满分150分，考试时间120分钟）温馨提示：亲爱的同学们，这份试卷将记录你的自信、沉着与智慧．愿你能够放松心情，认真审题，密思考，细心演算，交一份满意的答卷。一、选择题（每小题6分，共30分）1.校园内一个半径为10米的圆形草坪，如图1，一部分学生为走“捷径”，走出了一条小路AB.通过计算可知，这些学生踩坏了花草，其实仅仅少走了（假设2步为1米，结果保留整数）（)A. 4步B. 5步D.7步C. 6步10米R120图2图 12：小红的妈妈做了一个矩形枕套（长、宽不等），又在枕套四周镶上了相同宽度的花边，如图2所示，关于两个矩形，下列说法正确的是（0B.两个矩形不一定相似A：两个矩形相似C.两个矩形一定不相似D.无法判断两个矩形是否相似3.如图3，方台村为了抽取水库的水来浇灌山上的果木树，APQ准备在山坡上建一个抽水泵站。已知山坡上有A、P、O三处可供选择，且测得A到水库C的距离为50m，P到C的B距离为40m，Q到C的距离为35m，山坡的坡角ZACB=15°：由于大气压的影响，此种水泵的实际吸水扬程图3AB不能超过10m，否则无法抽取水库的水，则水泵站应建在（sin15°=0.2588,cos15°=0.9659,tan15°=0.2679）（A. A处B.P处C.O处D.A、P、O均可4．宏光学校有一面积为100米2的正方形展厅，计划铺满统一大小的正方形地板砖，现市场上有大、小两种规格产品：大地板砖对角线长为50cm，每块0.8元；小地板砖对角线长为40cm，每块0.6元，甲公司的优惠办法是：凡购买大地板砖700块以上者给予9折优惠，凡购买小地板砖1000块以上者给予7折优惠：乙公司的优惠办法是：凡购买700元以上者，不管购买大块还是小块均按8折优惠，在质量、服务条件相同的情况下，为使学校支付的费用最少，请你为该校选择最佳购买方案（)A.到甲公司购买大块地板砖B.到乙公司购买大块地板砖C.到甲公司购买小块地板砖D.到乙公司购买小块地板砖5.如图4，在某条公路上，从里程数8m开始到4000m止，每隔8m将树与灯按图中的规则设立：在里程数8m处种一棵树，在16m处立一盏灯，在24m处种一棵树（相邻的树与，且每两盏灯之间的距离相等，依此规则，下列里程树、树与灯之间的距离都是8米）数800m~824m之间树与灯的排列顺序中正确的是（1
第七届“学用杯” 全国数学知识应用竞赛 九年级初赛试题（A）卷 （本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟） 温馨提示：亲爱的同学们，这份试卷将记录你的自信、沉着与智慧．愿你能够放松心情， 认真审题，缜密思考，细心演算，交一份满意的答卷． 一、选择题（每小题 6 分，共 30 分） 1．校园内一个半径为 10 米的圆形草坪，如图 1，一部分学生为走“捷径”，走出了一条小 路 AB．通过计算可知，这些学生踩坏了花草，其实仅仅少走了（假设 2 步为 1 米，结果保 留整数）（ ） A．4 步 B．5 步 C．6 步 D．7 步 2．小红的妈妈做了一个矩形枕套（长、宽不等），又在枕套四周镶上了相同宽度的花边，如 图 2 所示，关于两个矩形，下列说法正确的是（ ） A．两个矩形相似 B．两个矩形不一定相似 C．两个矩形一定不相似 D．无法判断两个矩形是否相似 3．如图 3，方台村为了抽取水库的水来浇灌山上的果木树， 准备在山坡上建一个抽水泵站．已知山坡上有 A、P、Q 三 处可供选择，且测得 A 到水库 C 的距离为 50m，P 到 C 的 距离为 40m，Q 到 C 的距离为 35m，山坡的坡角∠ ACB=15°．由于大气压的影响，此种水泵的实际吸水扬程 AB 不能超过 10m，否则无法抽取水库的水，则水泵站应建 在（sin15°=0.258 8，cos15°=0.965 9，tan15°=0.267 9）（ ） A．A 处 B．P 处 C．Q 处 D．A、P、Q 均可 4．宏光学校有一面积为 100 米 2 的正方形展厅，计划铺满统一大小的正方形地板砖，现市 场上有大、小两种规格产品：大地板砖对角线长为 50cm，每块 0.8 元；小地板砖对角线长 为 40cm，每块 0.6 元，甲公司的优惠办法是：凡购买大地板砖 700 块以上者给予 9 折优惠， 凡购买小地板砖 1 000 块以上者给予 7 折优惠；乙公司的优惠办法是：凡购买 700 元以上者， 不管购买大块还是小块均按 8 折优惠．在质量、服务条件相同的情况下，为使学校支付的费 用最少，请你为该校选择最佳购买方案（ ） A．到甲公司购买大块地板砖 B．到乙公司购买大块地板砖 C．到甲公司购买小块地板砖 D．到乙公司购买小块地板砖 5．如图 4，在某条公路上，从里程数 8m 开始到 4 000m 止，每隔 8m 将树与灯按图中的规 则设立：在里程数 8m 处种一棵树，在 16m 处立一盏灯，在 24m 处种一棵树（相邻的树与 树、树与灯之间的距离都是 8 米）.，且每两盏灯之间的距离相等．依此规则，下列里程 数 800m~824m 之间树与灯的排列顺序中正确的是（ ）
81624里程数（m）图4o106Taao0OT800808816824800808816824800808816824800808816824A.B.C.D.二、填空题（每小题6分，共30分）6.王强毕业于农业技术职业学校，毕业后采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜，第-年这亩地产西瓜625个，为了估计这亩地的收成，王强在西瓜大批上市前随机摘下10个成熟的西瓜，称重如下：西瓜质量（单位：千克）5.55.45.04.94.34.632211西瓜个数（单位：个）1根据以上信息可以估计这亩地的西瓜质量约是千克.7.你是否用电脑进行过图案设计？图5（1）是小明在电脑上设计的小房子，然后他又进行变化，得到图5（2）：小亮也在电脑上设计了一个图案，如图5（3），如果小亮也按小明变化图形时的规律对图5（3）进行变化，得到的图案是（画出简图）.(1)(2)(3)图 58．某希望小学刚刚建起，田径场还没建好，秋季运动会时，临时设置简易跑道如图6所示，两端由两个半圆组成，一周约250米，在一次400米跑比赛中，第一道从起点A要跑一圈半到终点C第二道终点不变，且中途不准抢道（每道宽1米）.为公平起见，第二跑道起点B应比第一跑道向前移动NQ图 6图79.自行车轮胎安装在前轮上行驶6000千米后报废，若安装在后轮上只能行驶4000千米，为了行驶尽可能远的路程，如果采用当自行车行驶一一定路程后将前、后轮胎调换使用的方法
二、填空题（每小题 6 分，共 30 分） 6．王强毕业于农业技术职业学校，毕业后采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜，第 一年这亩地产西瓜 625 个，为了估计这亩地的收成，王强在西瓜大批上市前随机摘下 10 个 成熟的西瓜，称重如下： 西瓜质量（单位：千克） 5.5 5.4 5.0 4.9 4.6 4.3 西瓜个数（单位：个） 1 2 3 2 1 1 根据以上信息可以估计这亩地的西瓜质量约是 千克． 7．你是否用电脑进行过图案设计？图 5（1）是小明在电脑上设计的小房子，然后他又进行 变化，得到图 5（2）；小亮也在电脑上设计了一个图案，如图 5（3），如果小亮也按小明变 化图形时的规律对图 5（3）进行变化，得到的图案是 （画出简图）． 8．某希望小学刚刚建起，田径场还没建好，秋季运动会时，临时设置简易跑道如图 6 所示， 两端由两个半圆组成，一周约 250 米，在一次 400 米跑比赛中，第一道从起点 A 要跑一圈 半到终点 C．第二道终点不变，且中途不准抢道（每道宽 1 米）．为公平起见，第二跑道起 点 B 应比第一跑道向前移动 ． 9．自行车轮胎安装在前轮上行驶 6 000 千米后报废，若安装在后轮上只能行驶 4 000 千米．为 了行驶尽可能远的路程，如果采用当自行车行驶一定路程后将前、后轮胎调换使用的方法
那么安装在自行车上的一对新轮胎最多可行驶千米410.已知，如图7，斜坡PO坡度为i=1:坡脚Q旁的点N处有一棵大树MN.近中午3的某个时刻，太阳光线正好与斜坡PO垂直，光线将树项M的影子照射在斜坡PO上的点A处.如果AO=4米，NO=1米，则大树MN的高度为三、解答题（本大题共60分）11.（本题10分）判断决策：三个无线电厂家在广告中都声称，它们的半导体收音机产品在正常情况下，产品的平均寿命是8年，商品检验部门为了检查他们宣传的真实性，对三个厂家出售的半导体收音机寿命进行了抽样统计，结果如下(单位：年)：甲厂：3、4、5、5、5、7、9、10、12、13、15;乙厂：3、3、4、5、5、6、8、8、8、10、11:丙厂：3、3、4、4、4、8、9、10、11、12、13:请你利用所学统计知识，对上述数据进行分析并回答以下问题：（1）这三个厂家的广告，分别利用了哪一种反映数据集中趋势的特征数？（2）如果你是顾客，应选购哪个厂家的产品？为什么？12.（本题15分）方案设计：东风汽车租赁公司共有30辆出租汽车，其中甲型汽车20辆乙型汽车10辆现将这30辆汽车租赁给A、B两地的旅游公司，其中20辆派往A地，10辆派往B地，两地旅游公司与汽车租赁公司商定每天价格如下表：每辆甲型车租金（元/天）每辆乙型车租金（元/天）A地1000800B地900600（1）设派往A地的乙型汽车x辆，租赁公司这30辆汽车一天共获得的租金为y（元），求）与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）若要使租赁公司这30辆汽车一天所获得的租金总额不低于26800元，请你说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来：（3）如果要使这30辆汽车每天获得的租金最多，请你为租赁公司提出合理的分派方案，13.（本题15分）实践应用：下承式混凝土连续拱圈梁组合桥，其桥面上有三对抛物线形拱圈.图8（1）是其中一个拱圈的实物照片，据有关资料记载此拱圈高AB为10.0m（含拱圈厚度和拉杆长度），横向分跨CD为40.0m（1）试在示意图（图8（2））中建立适当的直角坐标系，求出拱圈外沿抛物线的解析式（2）在桥面M（BC的中点）处装有一盏路灯（P点），为了保障安全，规定路灯距拱圈的距离PN不得少于1.1m，试求路灯支柱PM的最低高度.（结果精确到0.1m）
那么安装在自行车上的一对新轮胎最多可行驶 千米． 10．已知，如图 7，斜坡 PQ 坡度为 4 1: 3 i ，坡脚 Q 旁的点 N 处有一棵大树 MN．近中午 的某个时刻，太阳光线正好与斜坡 PQ 垂直，光线将树顶 M 的影子照射在斜坡 PQ 上的点 A 处．如果 AQ=4 米，NQ=1 米，则大树 MN 的高度为 ． 三、解答题（本大题共 60 分） 11．（本题 10 分）判断决策：三个无线电厂家在广告中都声称，它们的半导体收音机产品在 正常情况下，产品的平均寿命是 8 年，商品检验部门为了检查他们宣传的真实性，对三个厂 家出售的半导体收音机寿命进行了抽样统计，结果如下(单位：年)： 甲厂：3、4、5、5、5、7、9、10、12、13、15； 乙厂：3、3、4、5、5、6、8、8、8、10、11； 丙厂：3、3、4、4、4、8、9、10、11、12、13； 请你利用所学统计知识，对上述数据进行分析并回答以下问题： （1）这三个厂家的广告，分别利用了哪一种反映数据集中趋势的特征数？ （2）如果你是顾客，应选购哪个厂家的产品？为什么？ 12．（本题 15 分）方案设计：东风汽车租赁公司共有 30 辆出租汽车，其中甲型汽车 20 辆， 乙型汽车 10 辆．现将这 30 辆汽车租赁给 A、B 两地的旅游公司，其中 20 辆派往 A 地，10 辆派往 B 地，两地旅游公司与汽车租赁公司商定每天价格如下表： 每辆甲型车租金（元/天） 每辆乙型车租金（元/天） A 地 1 000 800 B 地 900 600 （1）设派往 A 地的乙型汽车 x 辆，租赁公司这 30 辆汽车一天共获得的租金为 y（元），求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）若要使租赁公司这 30 辆汽车一天所获得的租金总额不低于 26 800 元，请你说明有多 少种分派方案，并将各种方案设计出来； （3）如果要使这 30 辆汽车每天获得的租金最多，请你为租赁公司提出合理的分派方案． 13．（本题 15 分）实践应用：下承式混凝土连续拱圈梁组合桥，其桥面上有三对抛物线形拱 圈．图 8（1）是其中一个拱圈的实物照片，据有关资料记载 此拱圈高 AB 为 10.0m（含拱 圈厚度和拉杆长度），横向分跨 CD 为 40.0m． （1）试在示意图（图 8（2））中建立适当的直角坐标系，求出拱圈外沿抛物线的解析式； （2）在桥面 M（BC 的中点）处装有一盏路灯(P 点)，为了保障安全，规定路灯距拱圈的距 离 PN 不得少于 1.1m，试求路灯支柱 PM 的最低高度．（结果精确到 0.1m）
AVRMB(1)(2)图814.（本题20分）归纳猜想：同学们，让我们一起进行一次研究性学习：（1）如图9，已知正三角形ABC的中心为O，半径为R，将其沿直线1向右翻滚，当正三角形翻滚一周时，其中心O经过的路程是多少？ABC图9（2）如图10，将半径为R的正方形沿直线/向右翻滚，，当正方形翻滚一周时，其中心○经过的路程是多少？D10BC图10（3）猜想：把正多边形翻滚一周，其中心O所经过的路程是多少（R为正多边形的半径可参看图11）？请说明理由HC(C)A图12图 11（4）进一步猜想：任何多边形都有一个外接圆，若将任意圆内接多边形翻滚一周时，其外心所经过的路程是否是一个定值（R为多边形外接圆的半径）？为什么？请以任意三角形为例说明（如图12）.通过以上猜想你可得到什么样的结论？请写出来四、开放题（本题30分）15.杨子晚报报道《你家用“峰谷电”合不合算？》：“峰谷电”的含义是这样的，每天8：00到22：00用电每千瓦时是0.56元（峰电）：22：00至次日8：00每千瓦时是0.28元（谷电)
14．（本题 20 分）归纳猜想：同学们，让我们一起进行一次研究性学习： （1）如图 9，已知正三角形 ABC 的中心为 O，半径为 R，将其沿直线 l 向右翻滚，当正三 角形翻滚一周时，其中心 O 经过的路程是多少？ （2）如图 10，将半径为 R 的正方形沿直线 l 向右翻滚，当正方形翻滚一周时，其中心 O 经 过的路程是多少？ （3）猜想：把正多边形翻滚一周，其中心 O 所经过的路程是多少（R 为正多边形的半径， 可参看图 11）？请说明理由． （4）进一步猜想：任何多边形都有一个外接圆，若将任意圆内接多边形翻滚一周时，其外 心所经过的路程是否是一个定值（R 为多边形外接圆的半径）？为什么？请以任意三角形为 例说明（如图 12）． 通过以上猜想你可得到什么样的结论？请写出来． 四、开放题（本题 30 分） 15．杨子晚报报道《你家用“峰谷电”合不合算？》：“峰谷电”的含义是这样的，每天 8∶ 00 到 22∶00 用电每千瓦时是 0.56 元（峰电）；22∶00 至次日 8∶00 每千瓦时是 0.28 元（谷 电）．
注：平时居民用电每千瓦时是0.52元（1）根据你家的平时用电情况，算一算，你家用这样的“峰谷电”合算吗？（2）请根据“峰谷电”的使用，编拟一道数学实际应用问题，并给出解题过程，注明用的什么数学知识第七届“学用杯”全国数学知识应用竞赛（A）卷参考答案九年级初赛试题、选择题（每小题5分，共30分）1. B 2. C3. C 4. C 5. D二、填空题（每小题5分，共30分）6.31257.8. 2π米9.480010.8米三、解答题（每小题15分，共60分）11.解：（1）因为甲厂的收音机寿命的平均数是8年，众数是5年，中位数是7年；乙厂的收音机寿命的平均数约是6.45年，众数是8年，中位数是6年：丙厂的收音机寿命的平均·6分数约是7.36年，众数是4年，中位数是8年，所以，甲厂选用平均数，乙厂选用众数，丙厂选用中位数；8分（2）因为甲厂收音机的平均寿命比乙厂、丙厂的都高，因此，顾客应选购甲厂的产品，10分12.解：(1)y=1000(20-x)+900x+800x+600(10-x)=26000+100x(0≤x≤10)6分（2）依题意，得26000+100x≥26800，又因为0≤x≤10，8≤x≤10.因为x是整数，x=8，9，10，方案有3种9分方案1：A地派甲型车12辆，乙型车8辆：B地派甲型车8辆，乙型车2辆；方案2：A地派甲型车11辆，乙型车9辆：B地派甲型车9辆，乙型车1辆；12 分方案3：A地派甲型车10辆，乙型车10辆：B地派甲型车10辆（3）：y=26000+100x是一次函数，且k=100>0，.y随x的增大而增大：当x=10时，这30辆车每天获得的租金最多：合理的分配方案是A地派甲型车10辆，乙型车10辆；B地派甲型车10辆15分13.（1）如右图，以A为坐标原点，BA所在直线为
注：平时居民用电每千瓦时是 0.52 元． （1）根据你家的平时用电情况，算一算，你家用这样的“峰谷电”合算吗？ （2）请根据“峰谷电”的使用，编拟一道数学实际应用问题，并给出解题过程，注明用的 什么数学知识． 第七届“学用杯”全国数学知识应用竞赛 九年级初赛试题 （A）卷参考答案 一、选择题（每小题 5 分，共 30 分） 1．B 2．C 3．C 4．C 5．D 二、填空题（每小题 5 分，共 30 分） 6．3 125 7． 8．2π米 9．4 800 10．8 米 三、解答题（每小题 15 分，共 60 分） 11．解：（1）因为甲厂的收音机寿命的平均数是 8 年，众数是 5 年，中位数是 7 年；乙厂的 收音机寿命的平均数约是 6.45 年，众数是 8 年，中位数是 6 年；丙厂的收音机寿命的平均 数约是 7.36 年，众数是 4 年，中位数是 8 年．······················································6 分 所以，甲厂选用平均数，乙厂选用众数，丙厂选用中位数； ····································8 分 （2）因为甲厂收音机的平均寿命比乙厂、丙厂的都高，因此，顾客应选购甲厂的产品． ·································10 分 12．解：（1） y x x x x x x 1 000(20 ) 900 800 600(10 ) 26 000 100 (0 10) ≤ ≤ ； ·································6 分 （2）依题意，得 26 000 100 26 800 x≥ ， 又因为 0 10 ≤x≤ ，∴ 8 10 ≤x≤ ． 因为 x 是整数，∴ x 8，9，10，方案有 3 种． ····················································9 分 方案 1：A 地派甲型车 12 辆，乙型车 8 辆；B 地派甲型车 8 辆，乙型车 2 辆； 方案 2：A 地派甲型车 11 辆，乙型车 9 辆；B 地派甲型车 9 辆，乙型车 1 辆； 方案 3：A 地派甲型车 10 辆，乙型车 10 辆；B 地派甲型车 10 辆． ·························12 分 （3）∵ y x 26 000 100 是一次函数，且 k 100 0 ，∴y 随 x 的增大而增大． ∴当 x 10 时，这 30 辆车每天获得的租金最多． ∴合理的分配方案是 A 地派甲型车 10 辆，乙型车 10 辆；B 地派甲型车 10 辆．·········15 分 13．（1）如右图，以 A 为坐标原点，BA 所在直线为