第四届“学用杯”全国数学知识应用竞赛·年级决赛试题一、（本题20分）王浩家有一间长7.5m，宽5m的客厅需要铺设地砖，王浩看中了两种地砖，甲种地砖的长与宽分别为50cm和40cm，乙种地砖的长与宽分别为40cm和25cm，每块甲种地砖的售价是每块乙种地砖售价的两倍，（1）若不考虑铺设方法，王浩应该选购哪种地砖？（2）若想铺设时地砖的长短方向与房间的长短方向一致，且在长短方向或宽窄方向上只允许使用一块经过裁剪的地砖，则应该选购哪种地砖，为什么？二、（本题20分）某生活小区临街的一面有块如图1所示的梯形空地，物业部门打算把这块空地美化一下，以供观赏：初步打算沿对角线AC，BD修两条小路，把梯形ABCD分成四块，种上相同种类的花，四块地的面积分别为S，S2，S3，S4，一位物业工人很快看出S，S4两种需要花的棵数大致相等（1）你知道他是根据什么判断的吗？5S2（说明S，与S之间关系的理由？）F图 1（2）请你用学过的知识探究S，S，S三者之间的关系？三、（本题20分）某种零件加工时，需要把两个半圆环形拼成一个完整的圆环，并确定这个圆环的圆心，在加工时首先要检测两个半圆环形是否合格检测方法如图2所示，把直角钢尺的直角顶点放在圆周上，如果在移动钢尺的过程中，钢尺的两个直角边始终和A，B两点接触，并且直角顶点一直在圆周上，就说明这个半圆环形是合格的，把两个合格的半圆环形拼接在一起就形成了如图3所示的一个圆环请你利用三角板和铅笔确定这个圆环的圆心（在图3上作出圆心，并作必要的文字说明）图2图3四、（本题20分）近儿年，为了改善办学条件，国家鼓励多渠道办学某人准备投资1200万的硬件建设费兴办一所中学，他对该地区的教育市场进行了调查，得出一组数据如下表（以班级为单位）班级学生数配备教师数硬件建设(万元）」教师年薪(万元）初中502.0281.240高中2.5581.6根据物价部门的有关规定：初中是义务教育阶段，收费标准适当控制，预计除书本费以外每生每年可收600元．高中每生每年可收取1500元.因生源和环境等条件限制，办学规
第四届“学用杯” 全国数学知识应用竞赛 八年级决赛试题 一、（本题 20 分）王浩家有一间长 7.5m，宽 5m 的客厅需要铺设地砖，王浩看中了两种 地砖，甲种地砖的长与宽分别为 50cm 和 40cm，乙种地砖的长与宽分别为 40cm 和 25cm， 每块甲种地砖的售价是每块乙种地砖售价的两倍． （1）若不考虑铺设方法，王浩应该选购哪种地砖？ （2）若想铺设时地砖的长短方向与房间的长短方向一致，且在长短方向或宽窄方向上 只允许使用一块经过裁剪的地砖，则应该选购哪种地砖，为什么？ 二、（本题 20 分）某生活小区临街的一面有块如图 1 所示的梯形空地，物业部门打算把 这块空地美化一下，以供观赏．初步打算沿对角线 AC BD ， 修两条小路，把梯形 ABCD 分 成四块，种上相同种类的花．四块地的面积分别为 1 2 3 4 S S S S ， ， ， ，一位物业工人很快看 出 3 4 S S ， 两种需要花的棵数大致相等． （1）你知道他是根据什么判断的吗？ （说明 3 S 与 4 S 之间关系的理由？） （2）请你用学过的知识探究 1 2 3 S S S ， ， 三者之间的关系？ 三、（本题 20 分）某种零件加工时，需要把两个半圆环形拼成一个完整的圆环，并确定 这个圆环的圆心，在加工时首先要检测两个半圆环形是否合格．检测方法如图 2 所示，把直 角钢尺的直角顶点放在圆周上，如果在移动钢尺的过程中，钢尺的两个直角边始终和 A B ， 两点接触，并且直角顶点一直在圆周上，就说明这个半圆环形是合格的． 把两个合格的半圆环形拼接在一起就形成了如图 3 所示的一个圆环． 请你利用三角板和铅笔确定这个圆环的圆心．（在图 3 上作出圆心，并作必要的文字说 明） 四、（本题 20 分）近几年，为了改善办学条件，国家鼓励多渠道办学．某人准备投资 1200 万的硬件建设费兴办一所中学，他对该地区的教育市场进行了调查，得出一组数据如 下表（以班级为单位）． 班级学生数 配备教师数 硬件建设(万元) 教师年薪(万元) 初中 50 2.0 28 1.2 高中 40 2.5 58 1.6 根据物价部门的有关规定：初中是义务教育阶段，收费标准适当控制，预计除书本费以 外每生每年可收 600 元．高中每生每年可收取 1500 元．因生源和环境等条件限制，办学规 A B D C O 1 S 2 S 3 S 4 S 图 1 图 3 A B 图 2
模以初、高中总共30个班为宜，每年只能招收起始年级，教师实行聘任制．初、高中教育周期为三年，请你合理地安排招生计划，使年利润最大，大约经过多少年可以收回全部投资？（不考虑除教师年薪和硬件建设以外的支出）五、（本题30分）材料作文两个人轮流在一张桌面（长方形或正方形或圆形）上摆放同样大小的硬币，规则是：每人每次摆一个，硬币不能相互重叠，也不能有一部分在桌面边沿之外，摆好以后不准移动，这样经过多次摆放，直到谁最先摆不下硬币，谁就认输，按照这个规则，你用什么办法才能取胜？初看起来，只能碰运气，其实不然，只要你先摆，并且采取中心对称策略，你就一定能取胜。取胜的秘决是：你先把一枚硬币放在桌面的对称中心上，以后根据对方所放硬币的位置，在和它关于中心对称的位置上放下一枚硬币，这样，由于对称性，只要对方能放下一枚硬币，你就能在其对称的位置上放一枚硬币，所以一定能赢这个游戏对你有什么启示，你是否做过类似的游戏。请以《我这样用数学》为题写一篇400字左右的小短文，六、（本题40分）从下列题目中任选一个，联系相识知识及现实生活，写一篇数学作文，字数控制在1000字以内。1.正方形的自述2.游戏与数学3．数学增强了我的自信4．从图形折叠中我学到了..5.生活处处用数学6.我与“学用杯竞赛”。加油呀！你一定能取得好成绩！第四届“学用杯”全国数学知识应用竞赛八年级决赛试题参考答案7.5×5一、（1）若不考虑铺设方法，只考虑面积，则需用甲地砖。=187.5（块）.0.5×0.47.5×5即188块：需用乙地砖=375（块）.此时选购乙地砖便宜0.4×0.25（2）按要求铺设，若用甲地砖，则在长短方向上铺15块，在宽窄方向上铺完12块后，还剩半块地砖的地面没铺，这部分地面再需要8块地砖便可.这样共需要甲地砖15×12+8=18块若用乙地砖，在宽窄方向上铺20块，在长短方向上铺完18块后，还剩二地砖的地面没铺，这部分地还需用20块地砖.因此共需要乙地砖20×18+20=3804块：由于每块甲地砖的价格是乙地砖的2倍，所以此时选购甲地砖便宜，二、（1）SAADC=SADCB（等底等高）
模以初、高中总共 30 个班为宜，每年只能招收起始年级，教师实行聘任制．初、高中教育 周期为三年，请你合理地安排招生计划，使年利润最大，大约经过多少年可以收回全部投资？ （不考虑除教师年薪和硬件建设以外的支出） 五、（本题 30 分）材料作文 两个人轮流在一张桌面（长方形或正方形或圆形）上摆放同样大小的硬币，规则是：每 人每次摆一个，硬币不能相互重叠，也不能有一部分在桌面边沿之外，摆好以后不准移动， 这样经过多次摆放，直到谁最先摆不下硬币，谁就认输，按照这个规则，你用什么办法才能 取胜？ 初看起来，只能碰运气，其实不然，只要你先摆，并且采取中心对称策略，你就一定能 取胜．取胜的秘诀是：你先把一枚硬币放在桌面的对称中心上，以后根据对方所放硬币的位 置，在和它关于中心对称的位置上放下一枚硬币．这样，由于对称性，只要对方能放下一枚 硬币，你就能在其对称的位置上放一枚硬币．所以一定能赢． 这个游戏对你有什么启示，你是否做过类似的游戏．请以《我这样用数学》为题写一篇 400 字左右的小短文． 六、（本题 40 分）从下列题目中任选一个，联系相识知识及现实生活，写一篇数学作文， 字数控制在 1000 字以内． 1．正方形的自述 2．游戏与数学 3．数学增强了我的自信 4．从图形折叠中我学到了. 5．生活处处用数学 6．我与“学用杯竞赛” 加油呀！你一定能取得好成绩！ 第四届“学用杯”全国数学知识应用竞赛 八年级 决赛试题 参考答案 一、（1）若不考虑铺设方法，只考虑面积，则需用甲地砖 7.5 5 187.5 0.5 0.4 （块）． 即 188 块；需用乙地砖 7.5 5 375 0.4 0.25 （块）．此时选购乙地砖便宜． （2）按要求铺设，若用甲地砖，则在长短方向上铺 15 块，在宽窄方向上铺完 12 块后， 还剩半块地砖的地面没铺，这部分地面再需要 8 块地砖便可．这样共需要甲地砖 15 12 8 188 块．若用乙地砖，在宽窄方向上铺 20 块，在长短方向上铺完 18 块后，还 剩 3 4 地砖的地面没铺，这部分地还需用 20 块地砖．因此共需要乙地砖 20 18 20 380 块．由于每块甲地砖的价格是乙地砖的 2 倍，所以此时选购甲地砖便宜． 二、（1） ADC DCB S S △ △ （等底等高）
S, = SAADC - S,S, = SABCD -S,所以S,=S4S.o0-S,OAS2-OA(2)S4ocS,S,S, = S4三、由检测方法可知，如果钢尺的直角顶点在圆周上，那么，直角钢尺和圆周的另两个交点就确定圆的一个直径，把直角钢尺的直角顶点放在圆周上，把钢尺和圆周的两个交点作标记，确定圆的一个直径，再用相同的方法确定圆的另一条直径，两条直径的交点就是圆心[x+y=30四、设初中编x个班，高中编y个班，则[28x+58y≤1200解不等式，得x≥18，设年利润为S则S=50×600×x+40×1500×y-1200×2×x-1600×2.5y=30000x+60000y-24000x-40000j即S=0.6x+2y（万元）又:y=30-x..S=-1.4x+60.可以看出x越大S越小当x=18时，S最大值=1.4×18+60=34.8（万元）设经过n年可收回投资：第一年收回：0.6×6+2×4=11.6（万元）第二年收回：0.6×12+2×8=23.2（万元）第三年收回：34.8×(3-2)=34.8（万元）..经过n年可收回投资：则11.6+23.2+34.8×（n-2）=1200..n~35.5因此，学校规模初中18个班；高中12个班；第一年初中招生6个班；300人，高中招生4个班160人，从第三年开始利润34.8万元，经过36年可以收回全部投资
3 1 4 1 ADC BCD S S S S S S △ △ 所以 3 4 S S （2） 1 3 2 1 3 3 1 2 4 3 2 3 4 S OC S OA S S OA S S S S S OC S S S S 三、由检测方法可知，如果钢尺的直角顶点在圆周上，那么，直角钢尺和圆周的另两个交点 就确定圆的一个直径． 把直角钢尺的直角顶点放在圆周上，把钢尺和圆周的两个交点作标记，确定圆的一个直 径，再用相同的方法确定圆的另一条直径． 两条直径的交点就是圆心． 四、设初中编 x 个班，高中编 y 个班，则 30 28 58 1200 x y x y ≤ 解不等式，得 x≥18． 设年利润为 S 则 S x y x y 50 600 40 1500 1200 2 1600 2.5 30000x 60000 24000 40000 y x y 即 S x y 0.6 2 （万元） 又 y x S x 30 1.4 60． 可以看出 x 越大 S 越小 当 x 18 时， S最大值 1.4 18 60 34.8 （万元） 设经过 n 年可收回投资 第一年收回： 0.6 6 2 4 11.6 （万元） 第二年收回： 0.6 12 2 8 23.2 （万元） 第三年收回： 34.8 (3 2) 34.8 （万元） 经过 n 年可收回投资；则 11.6 23.2 34.8 ( 2) 1200 n n 35.5 因此，学校规模初中 18 个班；高中 12 个班；第一年初中招生 6 个班；300 人，高中招 生 4 个班 160 人，从第三年开始利润 34.8 万元，经过 36 年可以收回全部投资．