证：1.证明每个 xke,1=1,,s,k=0,1,,-1, 是线性齐次微分方程(2)的一个解， 由于入，1=1，，S,是特征方程(3)的m重根，故有 =0,j=0,1,m-1, 其中ao=1.从而 (n-i加 1=1,,5,j=0,1,.,m-1. 由乘积函数导数的Leibniz公式 eaam-(）g 得 张样：上海交通大学数学系 第二十玉讲、高阶常系数线性齐次微分方程的解法
y:1. y²zá x k e λlx , l = 1,...,s, k = 0,1,...,nl −1, ¥Ç5‡gá©êß (2) òá). du λl , l = 1,...,s, ¥Aêß (3) nl ä, k d j dλ j n ∑ i=0 aiλ n−i ! λ=λl = 0, j = 0,1,...,nl −1, Ÿ• a0 = 1. l n ∑ i=0 ai (n−i)! (n−i−j)! λ n−i−j l = 0, l = 1,...,s, j = 0,1,...,nl −1. d¶»ºÍÍ Leibniz ˙™ (f(x)g(x))(m) = m ∑ j=0 m j ! f (j) g (m−j) , ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!p ~XÍÇ5‡gá©êß){
e=((",'）的 =("）mg x(5) =(） =(）(含）=。 其中在第二个等式中用到事实 的0=>k(）=0>- 这就证明了 e2,1=1,,S,k=0,1,,m-1,是方程2)的解.·三2ac 张样：上海交通大学数学系 第二十玉讲、高阶常系数线性齐次微分方程的解法
n ∑ i=0 ai x k e λlx (n−i) = n ∑ i=0 ai n−i ∑ j=0 n−i j ! (x k ) (j) (e λlx ) (n−i−j) ! = n ∑ i=0 ai k ∑ j=0 n−i j ! k! (k −j)! x k−j λ n−i−j l e λlx (5) = n ∑ i=0 ai k ∑ j=0 k j ! (n−i)! (n−i−j)! x k−j λ n−i−j l e λlx = k ∑ j=0 k j ! x k−j e λlx n ∑ i=0 ai (n−i)! (n−i−j)! λ n−i−j l ! = 0, Ÿ•31á ™•^Ø¢ (x k ) (j) = 0, j > k; n−i j ! = 0, j > n−i. ˘“y² x k e λlx , l = 1,...,s, k = 0,1,...,nl −1, ¥êß (2) ). ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!p ~XÍÇ5‡gá©êß){