西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第九章 欧氏空间 9.6 对称矩阵的标准形

西安毛子科技大学XIDIANUNIVERSITY于是 (o(6),8)-(auex,6) ]=an(8,8)=a;(6j,8,)=aji(6),(8)-[8,agx ) -ag(8),6n)= a,(6,6,) = aj由是对称变换，有（(8,),8,)=(8,0(8,)即i, j =1,2,......n.αij = αji,所以A为对称矩阵

§9.6 对称矩阵的标准形 于是 ( ) 1 ( ), , n i j ki k j k      a =   =      1 ( , ) n ki k j k a   = =  ( , ) ji j j = a   ji = a ( ) 1 , ( ) , n i j i kj k k      a =   =      1 ( , ) n kj i k k a   = =  ( , ) ij i i = a   ij = a , , 1,2, , ij ji 即  = = i j n 所以A为对称矩阵． 由  是对称变换，有 (      ( ), , ( ) i j i j ) = ( )

西要毛子科技大枣三XIDIAN UNIVERSITY2）（引理3）对称变换的不变子空间的正交补也是它的不变子空间。证明：设是对称变换，W为α的不变子空间对αWl，要证(α)eW，即证(α)W.任取 βεW，由W是α-子空间，有(β)eW,因此 (α(α),β)=(α,(β)=0即 o(α)lW, :: α(α)eWl.故WI也为α的不变子空间

§9.6 对称矩阵的标准形 2）（引理3）对称变换的不变子空间的正交补也是 它的不变子空间． 对  W , ⊥   任取  W , 即  ( ) , ⊥ W  ( ) . W ⊥   证明：设  是对称变换，W为  的不变子空间． 要证  ( ) , W ⊥  即证  ( ) . ⊥ W 由W是  − 子空间，有  ( ) , W 因此 (      ( ), , ( ) 0 ) = = ( ) 故W 也为 的不变子空间． ⊥