仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零 的点,均称为函数的驻点 注意:驻点 极值点 例如点(0,0)是函数z=x的驻点,但不是极值点 问题:如何判定一个驻点是否为极值点? 定理2(充分条件) 设函数=∫(x,y)在点x,y)的某邻域内连续, 有一阶及二阶连续偏导数, 上一页下一页返回
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为函数的驻点. 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 注意：驻点 极值点 定理 2（充分条件） 设函数 在点 的某邻域内连续， 有一阶及二阶连续偏导数， z = f (x, y) ( , ) 0 0 x y 例如 点 (0 , 0) 是函数 z = xy 的驻点，但不是极值点
又∫(x23y)=0,f(x0,y)=0 Af(xo, yo)=A f,(xo, yo)=b fM(xo, yo)=C 则f(xy)在点(x0,yk是否取得极值的条件如下: (1)AC-B2>0时具有极值, 当4<0时有极大值,当A>0时有极小值; (2)AC-B2<0时没有极值; (3)AC-B2=0时可能有极值也可能没有极值, 还需另作讨论 上一页下一页返回
又 f x (x0 , y0 ) = 0 ， f y (x0 , y0 ) = 0 令 f xx (x0 , y0 ) = A ， f xy (x0 , y0 ) = B ， f yy (x0 , y0 ) = C ， 则 f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下： （1） 0 时具有极值， 2 AC − B 当 A 0 时有极大值，当 A 0 时有极小值； （3） 时可能有极值,也可能没有极值， 还需另作讨论． 0 2 AC − B = （2） 0 时没有极值； 2 AC − B
求函数z=∫(x,y)极值的一般步骤: 第一步解方程组fx(x,y)=0,f,(x,y)=0 求出实数解,得驻点 第二步对于每一个驻点x,y0), 求出二阶偏导数的值A、B、C 第三步定出AC-B的符号,再判定是否是极值 上一页下一页返回
求函数z = f (x, y)极值的一般步骤： 第一步 解方程组 f (x, y) = 0, x f y (x, y) = 0 求出实数解，得驻点. 第二步 对于每一个驻点( , ) 0 0 x y ， 求出二阶偏导数的值A、B、C. 第三步 定出 2 AC − B 的符号，再判定是否是极值
例4求函数z=3xy-x3-y3的极值 解∫(x,y)=3y-=3x2=0 ∫(x,y)=3y-3y=0 求得驻点(0,0),(11) 在(0,0)点处 A=fm(0,0)=-6x000 B=J(00) f(00)-6yo0=0 上一页下一页返回
例4 求函数 的极值． 3 3 z = 3xy − x − y 解 = − = = − = ( , ) 3 3 0 ( , ) 3 3 0 2 2 f x y y y f x y y x y x 求得驻点 (0,0) ， (1,1) 在 (0,0) 点处 A = f x x (0,0) = −6x (0,0) = 0 B = f xy (0,0) = 3 A = f yy (0,0) = −6 y (0,0) = 0