江画工太猩院 y 0.5 5 在0,2π内曲线有拐点为(,0,2(,0) 注意:若∫"(x)不存在点(x,∫(xn)也可能 是连续曲线y=f(x)的拐点
江西理工大学理学院 ∴在[0,2π]内曲线有拐点为 ,0). 47 ,0), ( 43( π π ( ) . ( ) , ( , ( )) 0 0 0 是连续曲线 的拐点 若 不存在 点 也可能 y f x f x x f x = 注意: ′′
江画工太猩院 例4求曲线y=3x的拐点 解当x≠0,y=x x=0是不可导点,y,y均不存在 但在(-∞0内,y">0,曲线在(-0,0上是凹的; 在(0,+∞)内,y”<0,曲线在[0,+∞)上是凸的 点(00)是线y=列x的拐点
江西理工大学理学院 例4 . 求曲线 y = 3 x 的拐点 解 当x ≠ 0时, , 31 32 − y′ = x , 92 35 − y′′ = − x x = 0是不可导点 , y′, y′′均不存在 . 但在(−∞,0)内, y′′ > 0, 曲线在(−∞,0]上是凹的; 在(0,+∞)内, y′′ < 0, 曲线在[0,+∞ )上是凸的 . (0,0) . ∴点 是曲线 y = 3 x的拐点
江画工太猩院 四、渐近线 定义:当曲线y=f(x)上的一动点P沿着曲线 移向无穷点时,如果点P到某定直线L的距离 趋向于零,那么直线L就称为曲线y=f(x)的 一条渐近线 1.铅直渐近线(垂直于x轴的渐近线) 如果Iimf(x)=∞或im∫(x)= x→>x0 x→r 那么x=x就是y=f(x)的一条铅直渐近线
江西理工大学理学院 四、渐近线 定义: . , ( ) , ( ) 一条渐近线 趋向于零 那么直线 就称为曲线 的 移向无穷点时 如果点 到某定直线 的距离 当曲线 上的一动点 沿着曲线 L y f x P L y f x P = = 1.铅直渐近线 (垂直于 x 轴的渐近线 ) ( ) . lim ( ) lim ( ) 0 0 0 那么 就是 的一条铅直渐近线 如果 或 x x y f x f x f x x x x x = = = ∞ = ∞ → + → −
江画工太猩院 例如y (x+2)(x-3) 有铅直渐近线两条:x=-2,x=3
江西理工大学理学院 例如 , ( 2)( 3) 1 + − = x x y 有铅直渐近线两条: x = −2, x = 3
江画工太猩院 2水平渐近线(平行于x轴的渐近线) 如果imf(x)=b或lim∫(x)=b(b为常数) x→+00 x→-00 那么y=b就是y=f(x)的一条水平渐近线 例如y= arctan, 有水平渐近线两条:y=。,y
江西理工大学理学院 2.水平渐近线 (平行于 x 轴的渐近线 ) ( ) . lim ( ) lim ( ) ( ) 那么 就是 的一条水平渐近线 如果 或 为常数 y b y f x f x b f x b b x x = = = = →+∞ →−∞ 例如 y = arctan x, 有水平渐近线两条: . 2 , 2 π = − π y = y