例确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间解定义域（-80,+8)f'(x) = 6x2 -18x +12= 6(x -1)(x - 2)解方程f(x)=0 得, x, =1,xz =2.Vx(1,2)(-8,1)(2,+80)f'(x)++2f(x)11o12x单调区间为(-80,1], [1,2], [2,+80)
例 解 ( ) 2 9 12 3 . 确定函数f x = x 3 − x 2 + x − 的单调区间 ( ) 6 18 12 2 f x = x − x + = 6(x − 1)(x − 2) 解方程f (x) = 0得, 1, x1 = 2. x2 = 定义域 (−,+). x (−,1) (1,2) (2,+) f ( x) f ( x) + − + 单调区间为 (−,1], [1,2], [2,+). x y O 1 1 2 2
例 确定函数 f(x)=3/x2的单调区间y解 定义域(-80,+).y= /x?2f'(x):(x # 0)3 3/xolx当x=0时,导数不存在x(-00,0)(0,+8)f'(x)+f(x)1单调区间为(一80,0],[0,+80)
例 解 ( ) . 确定函数 f x = 3 x 2 的单调区间 , ( 0) 3 2 ( ) 3 = x x f x 当x = 0时, 单调区间为 (−,0], [0,+). 3 2 y = x 导数不存在. x (−,0) (0,+) f ( x) f ( x) − + 定义域 (−,+). x y O
注区间内有限个或无穷多个离散点处导数为零y=x3不影响区间的单调性2如,=x, Jx=0 = 0,x但在(一80,+8)上单调增加文如,y=x+ sinx在(一oo,+o)内可导,且y=1+cosx≥0,等号只在x=(2k+1)元(k=0,±1,)(无穷多个离散点)处成立,故 y=x+sinx在(-o0,+)内单调增加
区间内有限个或无穷多个离散点处导数为零, 如, , 3 y = x 0, y x=0 = 但在(−,+)上 注 不影响区间的单调性. 单调增加. 3 y = x 又如, y = x + sin x在(−,+ ) 内可导,且 y = 1+ cos x 等号只在 x = (2k + 1) (k = 0, 1, ) (无穷多个离散点)处成立,故 y = x + sin x在(−,+ ) 内单调增加. 0, x y O
例 当x>0时,试证x>In(1+x)成立x证 设f(x)= x-In(1+x),则 f'(x):1+ x：f(x)在[0,+)上连续且(0,+)可导f'(x) >0,在[0,+)上单调增加：f(0)=0,. 当x >0时,f(x) >f(0)= 0x-ln(1+x) > 0,即 x > In(1 + x)
例证 当x 0时,试证x ln(1 + x)成立. 设f (x) = x − ln(1 + x), . 1 ( ) x x f x + 则 = f (x)在[0,+ )上连续,且(0,+ )可导, 在[0,+ )上单调增加; f (0) = 0, 当x 0时， x − ln(1+ x) 0, 即 x ln(1+ x). f (x) 0, f (x) f (0) = 0