同济大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿，第五版）第八章 多元函数微分法及其应用（8.9）二元泰勒公式

第九节 第八章 二元涵数的泰勒公式 二元函数泰勒公式 二、极值充分条件的证明 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

*第九节 一、二元函数泰勒公式 二、极值充分条件的证明 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二元函数的泰勒公式 第八章

二元函数的泰勒公式 元函数f(x)的泰勒公式 f(x+b)=f(x0)+f(x)+00h2+ n(xo f"( (xo +x) h"+ h'" (n+1) (0<6<1) 推广 多元函数泰勒公式 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、二元函数的泰勒公式 一元函数 f (x) 的泰勒公式: +  + = +  + 0 2 0 0 0 2! ( ) ( ) ( ) ( ) h f x f x h f x f x h n n h n f x ! ( ) 0 ( ) + (0  1) 推广 多元函数泰勒公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

记号(设下面涉及的偏导数连续) (h+k)(x0,y0)表示hfx(x0,y10)+kf,(x0,y0) y (h0+k)2f(xo,y)表示 ax y h fxx(xo, yo)+2hk xv(xo, yo)+k fvy(xo, yo) 般地(hx+k)"f(x02y0)表示 ax cP hpk m-p a"f axPaym-P(xo, yo) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

记号 (设下面涉及的偏导数连续): ( ) ( , ) 0 0 f x y y k x h   +   ( ) ( , ) 0 0 2 f x y y k x h   +   ( ) ( , ) 0 0 f x y y k x h m   +   ( , ) ( , ) 0 0 0 0 h f x y k f x y 表示 x + y ( , ) 2 ( , ) ( , ) 0 0 2 0 0 0 0 2 h f x y hk f x y k f x y xx + x y + y y ( , ) C 0 0 0 x y x y f h k p m p m p m p m p p m − − =     • 一般地, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 • • 表示 表示

定理1.设z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有直 到n+1阶连续偏导数,(xo+h,y+k)为此邻域内任 点,则有 f(xo+h, yo+k)=f(xo, yo)+(ha+k a)(o, yo +2i(hox+kav'f(o, yo)+ +i(ha+k a)"f(o, yo)+Rn 其中R n=(m+(ba2+k3)+(0+0,y+)② (0<6<1) ①称为在点(x,y的m阶泰勒公式②称为其拉格 朗日型余项 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定理1. ( , ) ( , ) 0 0 设 z = f x y 在点 x y 的某一邻域内有直 到 n + 1 阶连续偏导数 , ( , ) 0 0 x + h y + k 为此邻域内任 一点, 则有 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x + h y + k = f x y ( ) ( , ) 0 0 h k f x y x  y    + + + 2 1 ! (h   x + k   y ) 2 f (x0 , y0 ) + ( ) ( , ) ! 0 0 1 h k f x y n n x  y    + + ( ) ( , ) 0 0 1 ( 1)! 1 R h k f x h y k n n n x y = + + + +     + (0  1) + Rn 其中 ① ② ① 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式, ②称为其拉格 朗日型余项 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

证:令卯(1)=f(x+th,y+tk)(0≤t≤1 则0(0)=f(x0y0),(1)=f(x0+h,y0+k) 利用多元复合函数求导法则可得 p(t)=hf(o+ht, yo+kt)+kfy(xo+ht, yo+kt) >'(0)=(ha+ka)f(xo, yo) p(t)=hxx(xo+ht, yo +kt) +2hkfxv(xo+ ht, yo+kt +k'fvy(xo+ht, yo+ kt (0)=(h+k2,)2f(xo,yo) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

证: 令 ( ) ( , ) (0 1),  t = f x0 + th y0 + tk  t  则 (0) ( , ), (1) ( , ) 0 0 0 0  = f x y  = f x + h y + k 利用多元复合函数求导法则可得: ( ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 t h f x ht y kt k f x ht y kt  = x + + + y + + (0) ( ) ( , ) 0 0 h k f x y x  y     = + ( ) ( , ) 0 0 2 t h f x ht y kt  = xx + + 2 ( , ) 0 0 hk f x ht y kt + x y + + ( , ) 0 0 2 k f x ht y kt + y y + + (0) ( ) ( , ) 0 0 2 h k f x y x  y     = + 机动 目录 上页 下页 返回 结束