第十予 第八章 最小二乘法 问题的提出:已知一组实验数据(xk2yk)(k=0 ,m,求它们的近似函数关系y=f(x) 需要解决两个问题 1.确定近似函数的类型 根据数据点的分布规律 根据问题的实际背景 O AA2.确定近似函数的标准 实验数据有误差不能要求y=f(x1) 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
*第十节 第八章 问题的提出: 已知一组实验数据 求它们的近似函数关系 y＝f (x) . o y x 需要解决两个问题: 1. 确定近似函数的类型 • 根据数据点的分布规律 • 根据问题的实际背景 2. 确定近似函数的标准 ( ) i i •实验数据有误差, 不能要求 y = f x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 最小二乘法
偏差n=y;-f(x1)有正有负为使所有偏差的绝对 值都较小且便于计算,可由偏差平方和最小 ∑[y-f(x,)2=min 来确定近似函数f(x) 最小二乘法原理: 设有一列实验数据(xk,yk)(k=0,1,…,n),它们大体 分布在某条曲线上,通过偏差平方和最小求该曲线的方 法称为最小二乘法,找出的函数关系称为经验公式 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
o y x • 偏差 ( ) i i i r = y − f x 有正有负, 值都较小且便于计算, 可由偏差平方和最小 [ ( )] min 2 0 − = = i i n i y f x 为使所有偏差的绝对 来确定近似函数 f (x) . 最小二乘法原理: 设有一列实验数据 分布在某条曲线上, 通过偏差平方和最小求该曲线的方 法称为最小二乘法, 找出的函数关系称为经验公式 . , 它们大体 机动 目录 上页 下页 返回 结束
特别,当数据点分布近似一条直线时,问题为确定a,b 使y=ax+b满足 M(a,b)=∑( k=0k-ax-6 min aM ∑(k-axk-b)xk=0 O a 令0 0 ab ∑(k-axk-b)=0 称为法方程组 ∑xk)+(∑xk)b=∑xkyk 得 k=0 解此线性方程组 ∑xk)a+(m+1)b=∑ 即得a,b k=0 k=0 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
特别, 当数据点分布近似一条直线时, 问题为确定 a, b 令 ( ) min 2 0 − − = = y ax b k n k = k M (a,b) = a M = b M 使 y = ax + b 满足: o y x 得 ( x )b n k k = + 0 ( x )a n k k =0 解此线性方程组 即得 a, b 称为法方程组 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.为了测定刀具的磨损速度,每隔1小时测一次刀 具的厚度,得实验数据如下 0 (h)012 33 4 4 55 67 67 y(mm)27.026826526.326.125725324.8 找出一个能使上述数据大体适合的经验公式.(P67例1) 解:通过在坐标纸上描点可看出它们 大致在一条直线上,故可设经验公式为 y=ax+b 列表计算 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 为了测定刀具的磨损速度, 每隔 1 小时测一次刀 具的厚度, 得实验数据如下: 找出一个能使上述数据大体适合的经验公式. 解: 通过在坐标纸上描点可看出它们 大致在一条直线上, 列表计算: 故可设经验公式为 (P67 例1) y = ax + b o y t 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 机动 目录 上页 下页 返回 结束
y Vi t 0 27.0 77 49 24.81376 ∑28140208.5717.0 140a+28b=717 得法方程组 28a+8b=208.5 解得a=-0.3036,b=27125故所求经验公式为 y=f(1)=-0.3036t+27.125 为衡量上述经验公式的优劣,计算各点偏差如下 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
得法方程组 140 a + 28b 28a + 8b = 208.5 = 717 解得 a = −0.3036, b = 27.125, 故所求经验公式为 y = f (t) = −0.3036t + 27.125 i t 0 i 2 i t i y i i y t 7 0 0 27.0 0 7 49 24.8 137.6 28 140 208.5 717.0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为衡量上述经验公式的优劣, 计算各点偏差如下: