第八节 第八章 多元画飘的嘏值及其起店 多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第八章 第八节 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的极值及其求法
多元函数的极值 定义:若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有 f(x,y)≤f(x0,y0)(或∫(x,y)≥f(xo2y0)) 则称函数在该点取得极大值(极小值)极大值和极小值 统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点 例如 z=3x2+4y2在点(00)有极小值 2=x2+y2在点(0)有极大值 z=xy在点(0,0)无极值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
x y z 一、 多元函数的极值 定义: 若函数 则称函数在该点取得极大值(极小值). 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值. 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 的某邻域内有 x y z x y z 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1(必要条件)函数z=f(x,y)在点(x,y0)存在 偏导数,且在该点取得极值,则有 fx(xo,y0)=0,/y(x0,y0)=0 证:因z=f(x,y)在点(x,y)取得极值,故 z=f(x,yo)在x=x0取得极值 z=f(xo,y)在y=y取得极值 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立 说明:使偏导数都为0的点称为驻点 但驻点不一定是极值点 例如,z=xy有驻点(0,0)但在该点不取极值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如, 定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 证: 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. ( , ) 0 , ( , ) 0 f x x0 y0 = f y x0 y0 = 取得极值 , 取得极值 取得极值 但驻点不一定是极值点. 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值. 且在该点取得极值 , 则有 存在 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2(充分条件)若函数=f(x,y)在点(x02y0)的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且 fx(x0,0)=0,/y(x0,y0)=0 7 A=fxx(0, yo),B=fxy(xo, yo), C=fyy(xo, yo A<0时取极大值; 则1)当AC-B2>0时,具有极值 A>0时取极小值 )当AC-B2<0时,没有极值 3)当AC-B2=0时不能确定,需另行讨论 证明见第九节(P65) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
时, 具有极值 定理2 (充分条件) 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 令 则: 1) 当 A<0 时取极大值; A>0 时取极小值. 2) 当 3) 当 证明见 第九节(P65) . 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 若函数 z = f (x, y) 在点(x0 , y0 )的 f x (x0 , y0 ) = 0 , f y (x0 , y0 ) = 0 ( , ) , ( , ) , ( , ) 0 0 0 0 0 0 A f x y B f x y C f x y = xx = x y = y y 0 2 AC − B 0 2 AC − B 0 2 AC − B = 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求函数f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x的极值 解:第一步求驻点 f1(x,y)=3x2+6x-9=0 解方程组 f,(x,y)=-3 y+6 0 得驻点:(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2) 第二步判别求二阶偏导数 B fx(xy)=6x+6,fx(x,y)=0,/y(x,y)=6y+6 在点(1,0)处A=12,B=0,C=6 AC-B2=12×6>0.A>0 f(1,0)=-5为极小值; HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 求函数 解: 第一步 求驻点. 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 在点(1,0) 处 为极小值; 解方程组 A B C 的极值. 求二阶偏导数 f (x, y) = 6x + 6, xx f (x, y) = 0, xy f y y (x, y) = −6y + 6 12 6 0, 2 AC − B = A 0, 机动 目录 上页 下页 返回 结束