米第五节 第九章 含参变量的积分 被积函数含参变量的积分 二、积分限含参变量的积分 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
*第五节 一、被积函数含参变量的积分 二、积分限含参变量的积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 含参变量的积分 第九章
被积函数含参变量的积分 设f(x,y)是矩形域R=[a,b]×[a,月上的连续函数, 则积分f(x,y)dy确定了一个定义在a,b上的函数 记作 P(x)=f(x,y)dy x称为参变量,上式称为含参变量的积分 含参积分的性质—连续性,可积性,可微性 定理连续性)若f(x,y)在矩形域R=[a,b]×[a, 上连续,则由①确定的含参积分在[a,b上连续 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、被积函数含参变量的积分 设 f (x, y)是矩形域 R = [a,b][,] 上的连续函数, 则积分 f (x, y)d y 确定了一个定义在[a, b]上的函数, 记作 = (x) f (x, y)d y x 称为参变量, 上式称为含参变量的积分. 含参积分的性质 定理1.(连续性) 若 f (x, y)在矩形域 R = [a,b][, ] 上连续, 则由 ① 确定的含参积分在[a, b]上连续. — 连续性, 可积性, 可微性 : ① 机动 目录 上页 下页 返回 结束
证:由于f(x,y)在闭区域R上连续所以一致连续,即 任给G>0,存在δ>0,对R内任意两点(x1,n1),(x2y2) 只要x-x2<,y-y2<6 就有 f(x1,y1)-f(x2,y2)<6 因此任给E>0,存在8>0,当△x<δ时,就有 (x+Ax)-p(x)F SPL(x+Ax,y)-f(x,y)]dy CPIf(+Ax, y)-f(x, y)ldy<e(B-a) 这说明(x)在[a,b]上连续 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
证: 由于 f (x, y) 在闭区域R上连续, 所以一致连续, 即 任给 0,存在 0, ( , ), ( , ), 1 1 2 2 对R内任意两点 x y x y 只要 x1 − x2 , y1 − y2 就有 ( , ) − ( , ) 1 1 2 2 f x y f x y 因此,任给 0, 存在 0,当x 时, 就有 (x + x) −(x) = + − [ f (x x, y) f (x, y)]d y + − f (x x, y) f (x, y) d y 这说明 (x)在[a,b]上连续. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1表明定义在闭矩形域上的连续函数,其极限运 算与积分运算的顺序是可交换的即对任意xo∈[a,b B B lim f(, y)dy= lim f(x,y)dy x→>xa 同理可证,若f(x,y)在矩形域R=[a,b]×[a,B上连 续,则含参变量的积分 )=/b f(, y)dx 也在[a,上连续 由连续性定理易得下述可积性定理: HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理1 表明,定义在闭矩形域上的连续函数, 其极限运 算与积分运算的顺序是可交换的. [ , ], 即对任意 x0 a b → f x y y x x lim ( , )d 0 → = f x y y x x lim ( , )d 0 同理可证, 若 f (x, y)在矩形域 R = [a,b][, ]上连 续, = b a ( y) f (x, y)d x 则含参变量的积分 也在[, ]上连续. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由连续性定理易得下述可积性定理:
定理2(可积性)若f(x,y)在矩形域R=[a,b]×(,6 上连续则(x)=f(x,y)dy在ab上可积,且 B p(x)dx=U f(x, y)dy]dx=J,f(x,y)dxdy 同样vO)2J(x1)dx在,月上可积,且 w(y)dy=SP[S(x, y)dx]dy=J, f(,y)dxdy 推论:在定理2的条件下,累次积分可交换求积序 即 b, rB B rb dx f(x,y)dy=dyl f(x,y)dx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理2. (可积性) 若 f (x, y)在矩形域 R = [a,b][, ] 上连续, = 则(x) f (x, y)d y 在[a,b]上可积,且 = D f (x, y)d xd y 同样, = b a ( y) f (x, y)d x 在[, ]上可积,且 = D f (x, y)d xd y 推论: 在定理2 的条件下, 累次积分可交换求积顺序, 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束