第七节 第八章 方向导数与梯度 方向导数 二、梯度 三、物理意义 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第八章 第七节 一、方向导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度 三、物理意义 方向导数与梯度
方向导数 定义若函数f(x,y,=)在点P(x,y,z)处 P′ 沿方向l(方向角为a,B2y)存在下列极限 △f Im =limf(x+A,y+Ay,+A)-f(x,y,)记作Of ->0 O al p=√(△x)2+(△y)2+(△z) Ax= pcos a, Ay=pcos B, Az=p cos y 则称为函数在点P处沿方向l的方向导数 al HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
l P(x, y,z) 一、方向导数 定义: 若函数 f (x, y,z) f →0 lim 则称 l f l f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数. ( , , ) ( , , ) lim 0 f x + x y + y z + z − f x y z = → 在点 P(x, y,z) 处 沿方向 l (方向角为 , , ) 存在下列极限: 机动 目录 上页 下页 返回 结束P = 记作
定理:若函数f(x,y,2)在点P(x,y,2)处可微, 则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在,且有 af af af cosa+cos B+cos y al ax P′ 其中a,B,y为的方向角 证明由函数f(x,y2)在点P可微,得P(x,y,=) △f af a f of △x+△y+△z+0() y of pO cos a cOS B+ az cosr)+o(p) 故 af=lim △f0f af cosa+ COS B cosy a pop ax y HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
若函数 f (x, y,z) 在点 P(x, y,z) 处可微 , P(x, y,z) l 定理: 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , f l f = →0 lim cos cos cos z f y f x f l f + + = 证明: 由函数 f (x, y,z) z o( ) z f y y f x x f f + + + = = ( ) 且有 + o( ) 在点 P 可微 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P 故 cos cos cos z f y f x f + + =
对于二元函数f(x,y),在点P(x,y)处沿方向l(方向角 为a,B)的方向导数为 y aA= lim f(x+Ax,y+Ay)-f(x,y) 0lp>0 P f(x, y)cosa+f,(x, y)cos B X p=(△x)2+(△Ay)2,△x= p a,Ay= pcos B) 特别: 当/与x轴同向(a=0,B=2)时有f_0f al ax 当/与x轴反向(a=,B=2)时有_0f al ax HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 对于二元函数 f (x, y), 为, ) 的方向导数为 在点P(x, y)处沿方向 l (方 ( , ) ( , ) lim 0 f x x y y f x y l f + + − = → = f x (x, y)cos + f y (x, y)cos P l x y o x f l f = 特别: • 当 l 与 x 轴同向 ( )时,有 2 0, = = • 当 l 与 x 轴反向 ( )时,有 2 , = = x f l f = − l 向角
例1求函数=x2yz在点P(1,1,1)沿向量|=(2,-1 3)的方向导数 解:向量l的方向余弦为 cosC= cOS B cosy √14 14 /14 au xyz X 2 1 al t x y 14 √14 √14丿(1,1,1 6 √14 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量 3) 的方向导数 . = l P u 14 2 2xyz + 14 2 3 x y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 向量 l 的方向余弦为