第四节 第八章 多元复合菡数的求导法则 一元复合函数y=f(l),u=0(x) 求导法则 dvdv d d yx du dx 微分法则dy=f(l)dl=f(l)2(x)dx 本节内容 多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第四节 一元复合函数 求导法则 本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 微分法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元复合函数的求导法则 第八章
多元复合函数求导的链式法则 定理.若函数=0(),v=v(1)在点t可导,z=f(l,) 在点(2y)处偏导连续,则复合函数z=f((),y(m) 在点t可导,且有链式法则 dz az du az dv dt au dt av dt 证:设取增量41,则相应中间变量 有增量4u,△v, △z △+△+o(Pp)(P (Aa)2+(△)2) au HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、多元复合函数求导的链式法则 定理. 若函数 z = f (u,v) 处偏导连续, 在点 t 可导, t v v z t u u z t z d d d d d d + = z 则复合函数 证: 设 t 取增量△t , v v z u u z z + = + o ( ) 则相应中间变量 且有链式法则 u v t t 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有增量△u , △v
△zz△,Oz△,o(P) (p=√(△M2+(△y2) ∧tau△tav△t△t 令∧t→>0,则有△→0,A→>0, △du△vdv △tdt△tdt 0(P)0(p) △ →)0 △t △ △t (4t<0时根式前加“-号) dz az du az dy dt Ou dt av d/(全导数公式) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
则有u → 0, v → 0, ( 全导数公式 ) t v v z t u u z t z + = t o + ( ) z u v t t ( ( ) ( ) ) 2 2 = u + v ( ) o = (△t＜0 时,根式前加“–”号) t v t v t u t u d d , d d → → 机动 目录 上页 下页 返回 结束 t v v z t u u z t z d d d d d d + =
说明:若定理中f(l21)在点(u,1)偏导数连续减弱为 偏导数存在,则定理结论不一定成立 +y≠0 例如:z=f(l,v)= 0 L2+y2=0 u=t. v=t az 易知cm,(00500=0 O/(O)≈f(00)=0 但复合函数z=f(t,t) dz 1 az du az dv dt 2 au dt av dt =0·1+0.1=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
说明: 若定理中 例如: z = f (u, v) = u = t , v = t 易知: 但复合函数 z = f (t, t) 2 1 d d = t z t v v z t u u z d d d d + = 01+ 01= 0 偏导数连续减弱为 偏导数存在, 2 t = , 0 2 2 2 2 2 + + u v u v u v 0 , 0 2 2 u + v = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则定理结论不一定成立
推广:设下面所涉及的函数都可微 1)中间变量多于两个的情形.例如,z=f(l,v,), =((1),=v(1),=0() dz az du az dv az d dt au dt av dt ow dt u y 1 fio+f2y+f3a 2)中间变量是多元函数的情形例如, f(u,v,u=o(x,y), v=y(,y azaz au az ax au ax ay ax fior+f? azaz au az av fios+fvs x yx y 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
推广: 1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z = f (u,v,w) , 设下面所涉及的函数都可微 . = t z d d = + + 1 2 3 f f f 2) 中间变量是多元函数的情形.例如, z = f (u,v) , u = (x, y), v = (x, y) = x z 11 21 = f + f 12 2 2 = = f + f y z z z u v w u v x y x y t t t t u u z d d t v v z d d + t w w z d d + x u u z x v v z + y u u z y v v z + 机动 目录 上页 下页 返回 结束 u = (t), v = (t), w = (t)