高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)是可微 分的,那末函数在该点沿任意方向L的方向导 数都存在,且有9=0cs+9im al a ay 其中q为轴到方向L的转角 证明由于函数可微,则增量可表示为 ∫(x+Ax,y+△y)-f(x,y)=0△x+△y+0(p) 两边同除以P,得到 Http://www.heut.edu.cn
如果函数z = f ( x, y)在点P(x, y) 是可微 分的，那末函数在该点沿任意方向 L 的方向导 数都存在，且有 cos sin y f x f l f + = ， 其中 为x 轴到方向 L 的转角． 证明 由于函数可微，则增量可表示为 ( , ) ( , ) y o( ) y f x x f f x x y y f x y + + + + − = 两边同除以 , 得到 定 理
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> f(x+Ax,y△y)-f(x,y)fAx可A,0() a P 故有方向导数 of al lim J(x+Ax, y+Ay)-f(x,y) →0 =CoS卯+Sn卯 a Http://www.heut.edu.cn
cos sin ( , ) ( , ) y o( ) y x f x f x x y y f x y f + + = + + − 故有方向导数 ( , ) ( , ) lim 0 f x + x y + y − f x y → cos sin. y f x f + = = l f
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例1求函数z=Xe在点P(,0)处沿从点 P(,0)到点Q(2,-1)的方向的方向导数 解这里方向即为PQ={1,-1}, T 故x轴到方向l的转角9=4 z z 2 ce ax (1,0) (1,0) (1,0) 所求方向导数 z =c0s(-)+2Sin(2 2 Http://www.heut.edu.cn
例 1 求函数 y z xe 2 = 在点P(1,0)处沿从点 P(1,0)到点Q(2,−1)的方向的方向导数. 解 故x轴到方向 l 的转角 4 = − . 1; (1,0) 2 (1,0) = = y e x z 2 2, (1,0) 2 (1,0) = = y xe y z 所求方向导数 ) 4 ) 2sin( 4 cos( + − = − l z . 2 2 = − 这里方向l 即为PQ = {1,−1}
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例2求函数∫(x,y)=x2-xy+y2在点(1,1) 沿与x轴方向夹角为的方向射线的方向导数并 问在怎样的方向上此方向导数有 (1)最大值;(2)最小值;(3)等于零? 解由方向导数的计算公式知 f(1, 1)cos a+f(, sina =(2x-y) (n,C0Sa+(2 (2y-x) sIn a (1,1) Http://www.heut.edu.cn
例 2 求函数 2 2 f (x, y) = x − xy + y 在点（1，1） 沿与x轴方向夹角为 的方向射线l 的方向导数.并 问在怎样的方向上此方向导 数有 （1）最大值； （2）最小值； （3）等于零？ 解 (1,1)cos (1,1)sin (1,1) x y f f l f = + 由方向导数的计算公式知 (2 ) cos (2 ) sin , (1,1) (1,1) = x − y + y − x
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> = coS a+sin a =v2 sin(a+), 故(1)当=,时,方向导数达到最大值√2; (2)当a=5时,方向导数达到最小值-√2; 3 (3)当α=和α=时,方向导数等于0 4 Http://www.heut.edu.cn
= cos + sin ), 4 2sin( = + 故 （1）当 4 = 时， 方向导数达到最大值 2; （2）当 4 5 = 时， 方向导数达到最小值− 2 ; （3）当 4 3 = 和 4 7 = 时， 方向导数等于 0