第二章测度与测度的构造 我们知道 Riemann积分的几何意义是曲边梯形的面积为在欧氏空间空间R"上推 广 Riemann积分的理论,我们必须把象长度,面积和体积等概念推广到R"中的更一般的 集上去.本章将要定义的R”上的 Lebesgue测度就是长度,面积和体积等概念推广.由于 现代数学的许多分支需要,我们将在一般的空间上建立测度与积分的理论本章§2.1和 §2.2将要讨论一般空间上的测度的基本性质和测度的构造方法.R”上的 Lebesgue测 度虽然是一般测度的一个特例,但它在测度论中具有特别重要的地位在§2.3中将讨论 R"上的 Lebesgue测度构造方法及其性质 §2.1测度与测度的性质 教学目的给出一般空间上测度的定义,并由测度的定义推出测度的基 本性质 Lebesgue测度和 Lebesgue-Stieljes测度是本节定义的测度最重要的 特例,将在§23中介绍 本节要点本节讨论的测度是一般空间上的抽象测度应通过一些例子 是学生理解测度的意义 广义实数集在讨论测度之前,先介绍一下广义实数集测度论中讨论的函数和测度 将允许取正、负无穷为值.为此引进“+∞”和“-∞”两个符号(分别读作正无穷和负无 穷),称之为广义实数.规定它们与实数a之间的大小关系和四则运算如下 (1)序关系:-∞<a<+∞. (2)加法:a+(±)=(±∞)+a=(±∞)+(±∞)=±∞ >0 (3)乘法:a(±∞)=(±∞)a=10 ∞a<0 (4)除法 (5)绝对值:∞=+∞ 象(土∞)-(土∞)和二一等未定义的运算是无意义的,在运算中要注意避免这种情况出现
42 第二章 测度与测度的构造 我们知道 Riemann 积分的几何意义是曲边梯形的面积. 为在欧氏空间空间 n R 上推 广 Riemann 积分的理论, 我们必须把象长度, 面积和体积等概念推广到 n R 中的更一般的 集上去. 本章将要定义的 n R 上的 Lebesgue 测度就是长度, 面积和体积等概念推广. 由于 现代数学的许多分支需要, 我们将在一般的空间上建立测度与积分的理论. 本章 2.1 和 2.2 将要讨论一般空间上的测度的基本性质和测度的构造方法. n R 上的 Lebesgue 测 度虽然是一般测度的一个特例, 但它在测度论中具有特别重要的地位. 在 2.3 中将讨论 n R 上的 Lebesgue 测度构造方法及其性质. 2.1 测度与测度的性质 教学目的 给出一般空间上测度的定义,并由测度的定义推出测度的基 本性质.Lebesgue 测度和 Lebesgue-Stieljes 测度是本节定义的测度最重要的 特例, 将在 2.3 中介绍. 本节要点 本节讨论的测度是一般空间上的抽象测度.应通过一些例子, 是学生理解测度的意义. 广义实数集 在讨论测度之前,先介绍一下广义实数集.测度论中讨论的函数和测度 将允许取正 负无穷为值.为此引进 + ∞ ”和 − ∞ ”两个符号(分别读作正无穷和负无 穷),称之为广义实数.规定它们与实数a 之间的大小关系和四则运算如下: (1) 序关系: − ∞ < a < +∞. (2) 加法: a + (±∞) = (±∞) + a = (±∞) + (±∞) = ±∞. (3) 乘法: ∞ < = ± ∞ > ⋅ ±∞ = ±∞ ⋅ = 0. 0 0 0 ( ) ( ) a a a a a m (4) 除法: = 0. ± ∞ a (5) 绝对值: ± ∞ = +∞. 象(±∞) − (±∞) 和 ± ∞ ± ∞ 等未定义的运算是无意义的, 在运算中要注意避免这种情况出现
例如若a,b,c是广义实数,则只有当b≠土∞时候,才能从a+b=c推出a=c-b.否 则会出现(±∞)-(±∞)的情况,这是没有意义的 记R'=R∪{+∞,-∞}.称R为广义实数集,它的元素称为广义实数取值于R 的序列和函数分别称为广义实数列和广义实值函数.类似于实数集的情形,可以定义广 义实数集的子集的上确界,下确界和广义实数列的极限.不同的是这里的上下确界和极 限可以取±∞为值.另外我们也允许无穷级数的和为±∞(详见附录I) 测度的定义与性质设X是一固定的非空集.本节所讨论的集都是X的子集。我们 称定义在集类上的函数为集函数 定义1设为一个环,:→D0,+∞是一个非负值集函数如果4满足如下 条件: ()=0 (i)可数可加性:对.4中的任意一列互不相交的集{An},当 UA,∈R时,成立 u(∪4)=∑u(4) 则称为上的一个测度 注1环上的测度也具有有限可加性事实上,设A1,…,An∈,则 u(∪4)=(4…uAn∪u…) =以(A1)+…+(An)+(⑦)+ (A1) 这表明μ具有有限可加性.但在一般情况下,有限可加性不能推出可数可加性 恩考题证明:若μ是环上的广义实值函数,H不恒为+∞,并且满足可数可加 性,则是上的测度 例1设={X,团}.令()=0,(X)=1.则是上的测度 例2设X是一非空集,a是X中的一个固定元对任意A∈(X),令 若a∈A, (A) 0若a∈A 则容易验证是少(X)上的测度
43 例如若 a,b,c 是广义实数, 则只有当 b ≠ ±∞ 时候, 才能从 a + b = c 推出 a = c − b . 否 则会出现(±∞) − (±∞) 的情况, 这是没有意义的. 记 ∗ R = { , }. 1 R ∪ +∞ −∞ 称 ∗ R 为广义实数集, 它的元素称为广义实数. 取值于 ∗ R 的序列和函数分别称为广义实数列和广义实值函数. 类似于实数集的情形, 可以定义广 义实数集的子集的上确界, 下确界和广义实数列的极限. 不同的是这里的上下确界和极 限可以取 ± ∞ 为值. 另外我们也允许无穷级数的和为± ∞ (详见附录 II). 测度的定义与性质 设 X 是一固定的非空集. 本节所讨论的集都是 X 的子集. 我们 称定义在集类上的函数为集函数. 定义 1 设R 为一个环, µ :R → [0, + ∞] 是一个非负值集函数. 如果 µ 满足如下 条件: (i) µ(∅) = 0. (ii) 可数可加性 : 对 A 中的任意一列互不相交的集 { }, An 当 ∈ ∞ = U n 1 An R 时, 成立 ( ) ( ). 1 1 ∑ ∞ = ∞ = = n n n µ UAn µ A 则 µ 称为R 上的一个测度. 注 1 环上的测度也具有有限可加性.事实上, 设 A1 ,L, An ∈ R , 则 ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 ∑= = = = + + + ∅ + = ∪ ∪ ∪ ∅ ∪ n i i n n n i i A A A A A A µ µ µ µ µ µ L L U L L 这表明 µ 具有有限可加性. 但在一般情况下, 有限可加性不能推出可数可加性. 思考题 证明: 若 µ 是环R 上的广义实值函数, µ 不恒为 + ∞ , 并且满足可数可加 性, 则 µ 是R 上的测度. 例 1 设R ={X , ∅}. 令 µ(∅) = 0, µ(X ) = 1. 则 µ 是R 上的测度. 例 2 设 X 是一非空集, a 是 X 中的一个固定元. 对任意 A∈ P (X ), 令 ∉ ∈ = 0 . 1 , ( ) a A a A A 若 若 µ 则容易验证 µ 是P (X ) 上的测度
例3设丌是非空集X上的σ-代数.对任意A∈丌,若A≠,则令 (A)=+∞.另外令()=0,则是上的测度 例4设X={a1,a2,…}是可数集,(X)是X的全体子集所成的-代数.又设 {Pn,p≥1}是一列非负实数.在P(x)上定义 H()=0,以(A)=∑P,A∈只(X 容易验证H是P(X)上的测度.特别地,当Pn=1(n≥1)时, A中元素的个数当A是有限集, (A)= 当A是无限集 此时称μ为X上的计数测度.特别地,若取X=N为自然数集,则得到自然数集上的计 数测度 例5设丌是非空集X上的-代数,E∈.令丌={E∩A:A∈}.则是 E上的a-代数(见第一章习题第22题).若是丌上的测度.则(限制在g上)也是 丌上的测度 在§2.3将给出测度最重要的例子,即R"上的 Lebesgue测度 定理2设H是环上的测度.则p具有如下性质 (1)单调性若A,B∈且AcB,则(4)≤p(B) (2)可减性若A,B∈,ACB并且山(A)<+∞,则 (B-A)=(B)-(A) (3)次可数可加性若{A,}c并且∪A,∈,则 u(U4)≤∑(A) (4)下连续性若{4n}cR,A个并且∪A∈,则 A(UA, )=lim u(A,) (5)上连续性若{4}∈,A并且∩4∈R,以(4)<+,则 H(∩4)=lim(An) 证明(1)由于A∈B,故B=A∪(B-A)由于A∩(B-A)=②,由测度的有限
44 例 3 设 F 是非空集 X 上 的 σ − 代 数 . 对任意 A∈F , 若 A ≠ ∅, 则 令 µ(A) = +∞ . 另外令 µ(∅) = 0, 则 µ 是F 上的测度. 例 4 设 { , , } X = a1 a2 L 是可数集, P (X ) 是 X 的全体子集所成的σ − 代数. 又设 {p , p ≥ 1} n 是一列非负实数. 在P (X ) 上定义 µ(∅) = 0, ( ) ∑ , ∈ = a A i i µ A p A∈ P (X ) . 容易验证 µ 是P (X ) 上的测度. 特别地, 当 p = 1( n ≥ 1) n 时, + ∞ = . , ( ) . 当 是无限集 中元素的个数 当 是有限集 A A A µ A 此时称 µ 为 X 上的计数测度. 特别地, 若取 X = N 为自然数集, 则得到自然数集上的计 数测度. 例 5 设F 是非空集 X 上的σ − 代数, E ∈ F . 令F = {E ∩ A : A∈F }. E 则FE 是 E 上的σ − 代数(见第一章习题第 22 题). 若 µ 是F 上的测度. 则 µ (限制在FE 上)也是 FE 上的测度. 在 2.3 将给出测度最重要的例子, 即 n R 上的 Lebesgue 测度. 定理 2 设 µ 是环R 上的测度. 则 µ 具有如下性质: (1) 单调性. 若 A, B ∈ R 且 A ⊂ B, 则 µ(A) ≤ µ(B). (2) 可减性. 若 A, , B ∈ R A ⊂ B 并且 µ(A) < +∞, 则 µ(B − A) = µ(B) − µ(A). (3) 次可数可加性. 若{An } ⊂ R 并且 ∈ ∞ = U n 1 An R, 则 ≤ ∞ = ( ) 1 U n µ An ( ). 1 ∑ ∞ n= µ An (4) 下连续性. 若{An } ⊂ R, An ↑并且 ∈ ∞ = U n 1 An R, 则 ( ) 1 U ∞ n= µ An = lim ( ). n n µ A →∞ (5) 上连续性. 若{An } ⊂ R , An ↓并且 ∈ ∞ = I n 1 An R, ( ) , µ A1 < +∞ 则 ( ) 1 I ∞ n= µ An = lim ( ). n n µ A →∞ 证明 (1).由于 A ⊂ B, 故B = A ∪ (B − A). 由于 A ∩ (B − A) = ∅, 由测度的有限
可加性得到 (B)=(A)+(B-A) 注意到(B-A)≥0,因此(A)≤(B (2)在(1)中已证p(B)=(A)+(B-A).由此式并注意到0≤(A)<+∞,即得 (B-A)=(B)-(A) (3)令 B 则{B}∈,并且Bn∈A,(m21),B∩B1=(≠八易知成立∪4,=∪Bn (参见第一章习题第18题)利用测度的可数可加性和单调性得到 (UA)=(UB)=∑H(B)s∑(A) (4).令B1=A1,Bn=An-An,n≥2.由于An个,容易知道有 A,=∪B,UA=UB 由测度的可数可加性,我们 (∪U4)=∑(B)=m∑(B limu(UB, )=lim u(A,) (5)令Bn=A1-An,n≥1.则Bn↑,并且 UB,=U4-4)=4-∩4 注意到(UA)≤从(A1)≤以(A)<+∞,由测度的可减性和下连续性,得到 A(4)-(∩4)=(UB,)=imp(B) u(A)-lim u(An)
45 可加性得到 µ(B) = µ(A) + µ(B − A). 注意到 µ(B − A) ≥ 0, 因此 µ(A) ≤ µ(B). (2).在(1)中已证 µ(B) = µ(A) + µ(B − A). 由此式并注意到 0 ≤ µ(A) < +∞ , 即得 µ(B − A) = µ(B) − µ(A). (3). 令 , , 2. 1 1 1 = 1 = − ≥ − = B A B A A n n i n n U i 则 {Bn } ⊂ R , 并且 B ⊂ A (n ≥ 1), n n B B (i j). i ∩ j = ∅ ≠ 易知成立 U ∞ n=1 An =U ∞ n=1 Bn (参见第一章习题第 18 题). 利用测度的可数可加性和单调性得到 ( ) ( ) ( ) ( ). 1 1 1 1 ∑ ∑ ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = = = ≤ n n n n n n n µ UAn µ UB µ B µ A (4). 令 , , 2. B1 = A1 Bn = An − An−1 n ≥ 由 于 ↑, An 容易知道有 B B (i j), i ∩ j = ∅ ≠ 并且 , . 1 1 1 U U U ∞ = ∞ = ∞ = = = i i i i i An Bi A B . 由测度的可数可加性, 我们 lim ( ) lim ( ). ( ) ( ) lim ( ) 1 1 1 1 n n n i i n n n i i n n n n B A A B B µ µ µ µ µ →∞ = →∞ ∞ = = →∞ ∞ = = = = ∑ ∑ = U U (5) 令 Bn = A1 − An , n ≥ 1. 则Bn ↑, 并且 ( ) . 1 1 1 1 1 U U I ∞ = ∞ = ∞ = = − = − n n n n n Bn A A A A 注意到 ( ) ( ) ( ) , 1 1 ≤ ≤ < +∞ ∞ = A An A n µ U n µ µ 由测度的可减性和下连续性, 得到 ( ) lim ( ). lim( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) lim ( ) 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n A A A A A A B B µ µ µ µ µ µ µ µ →∞ →∞ →∞ ∞ = ∞ = = − = − − I = U =
由上式得到(∩4,)=lm(A)定理证毕■ 注2在测度的性质(5)中,若去掉条件(A1)<+∞,则不能保证(5)中的结论成立 例如,设是自然数集N上的计数测度.令A={n,n+1,…},n≥1.则A↓并且 ∩A,=∞.于是(∩4n)=0.另一方面,由于以(A)=+∞(n≥1,故 imA(A)=+0.因此(A)≠lmH(A) 定义3设H是环上的测度 (i)若对每个A∈R都有(A)<+∞,则称是有限的 (i)若对每个A∈R,存在中一列集{An},使得山(A)<+∞(n≥1)并且 A=UA,则称是a-有限的 容易知道,若环上的测度是σ一有限的,则上述定义中的{An}可以选取为互 不相交的.特别地,若是a-代数上的测度,则是一有限的当且仅当存在 中一列互不相交的集{A4},使得(A)<+(n21)并且x=UA 例如,本节例1和例2中的测度是有限的例4中的测度是σ一有限的 定义4(1)设X为一非空集,牙为X上的σ-代数.称二元组合(X,J)为可测 空间.中的集称为丌一可测集(或简称为可测集) (2)设4为可测空间(X,)上的测度.称三元组合(X,,4)为测度空间.若测度 H为有限的或σ一有限的,则分别称测度空间(X,,)为有限的和a一有限的 小结为了适应现代数学的许多分支需要,本节在一般空间上介绍测度本节讨论的 测度的性质,以后会经常用到,应熟练掌握.测度最重要的例子将在§23中介绍 习题习题二,第1题—第8题
46 由上式得到 ( ) 1 I ∞ n= µ An = lim ( ). n n µ A →∞ 定理证毕. 注 2 在测度的性质(5)中, 若去掉条件 µ(A1 ) < +∞ , 则不能保证(5)中的结论成立. 例如, 设 µ 是自然数集 N 上的计数测度. 令 A = {n, n +1, }, n ≥ 1. n L 则 An ↓ 并且 . 1 = ∅ ∞ = I n An 于 是 ( ) 0. 1 = ∞ = I n µ An 另一方面 , 由 于 (A ) = +∞(n ≥ 1), µ n 故 lim ( ) = +∞. →∞ n n µ A 因此 ( ) 1 I ∞ n= µ An lim ( ) n n µ A →∞ ≠ . 定义 3 设 µ 是环R 上的测度. (i).若对每个 A∈ R 都有 µ(A) < +∞, 则称 µ 是有限的. (ii). 若对每个 A∈ R , 存在 R 中一列集 { }, An 使得 µ(An ) < +∞ (n ≥ 1) 并且 , 1 U ∞ = = n A An 则称 µ 是σ − 有限的. 容易知道, 若环R 上的测度 µ 是σ − 有限的, 则上述定义中的{ } An 可以选取为互 不相交的. 特别地, 若 µ 是σ − 代数F 上的测度, 则 µ 是σ − 有限的当且仅当存在F 中一列互不相交的集{ }, An 使得 µ(An ) < +∞ (n ≥ 1)并且 . 1 U ∞ = = n X An 例如, 本节例 1 和例 2 中的测度是有限的.例 4 中的测度是σ − 有限的. 定义 4 (1) 设 X 为一非空集, F 为 X 上的σ − 代数. 称二元组合(X , F ) 为可测 空间. F 中的集称为F − 可测集(或简称为可测集). (2) 设 µ 为可测空间(X , F ) 上的测度. 称三元组合(X , F ,µ) 为测度空间. 若测度 µ 为有限的或σ − 有限的, 则分别称测度空间(X , F ,µ) 为有限的和σ − 有限的. 小 结 为了适应现代数学的许多分支需要, 本节在一般空间上介绍测度.本节讨论的 测度的性质, 以后会经常用到, 应熟练掌握. 测度最重要的例子,将在 2.3 中介绍. 习 题 习题二, 第 1 题 第 8 题