§2,2外测度与测度的延拓 教学目的本节讨论如何将环R上的测度延拓到生成的σ-代数上 去这是定义测度常用的方法下一节将用这个方法定义重要的 Lebesgue测 本节要点本节所述测度的延拓过程思路较复杂,论证较繁难.应注意讲 青主要思路,定理的证明应注意交代主要思想 在§2.1中我们给出了几个简单的测度的例子.但一般说来,要在一个比较复杂的集 类上定义一个满足某些特定条件的测度,往往并非易事.设界是一个环,O()是由 生成的σ-代数.一般情况下,σ()要比大得多.显然,在上定义一个测度要比直 接在σ()定义容易.因此,如果我们要在σ()定义一个满足某些特定条件的测度,我 们可以先在上定义这个测度,然后再设法延拓到σ()上去.本节将证明,若是定 义在环上的测度,则总可以延拓到一个包含()的σ-代数上去.大体上按照如 下步骤进行:设是定义在环上的测度,用覆盖的方式将4延拓为(X)上的集函数, 得到一个外测度.外测度一般不是可数可加的,因而一般不是一个测度.将这个外测度限 制在一个适当的较小的集类上,外测度在这个集类上是可数可加的,因而得到一个测度 这个集类一般比σ()要大,从而扩大了测度的定义域.这是一种常用的方法.许多重 要的测度可以用这种方法构造出来 本节仍设X是一固定的非空集,刃(X)是X的全体子集所成的集类 外测度设C是一个非空集类,ACX.若{An}是C中的有限或无穷序列,使得 AcUA,(或Ac∪)则称{4n}是A的一个C覆盖由于有限并总可以写成可数 并(只要令A=A4(n>k),则UA,=U4,)因此不妨只考虑由可数个集构成的覆盖 设是环上的测度.对每个A∈X,令 4)=inf∑m(4n):{4}是A的覆盖} 若A无覆盖,则令'(A)=+∞.这样定义的是定义在P(X)上的非负值集函数 称为由导出的外测度
47 2.2 外测度与测度的延拓 教学目的 本节讨论如何将环 R 上的测度延拓到 R 生成的σ -代数上 去. 这是定义测度常用的方法. 下一节将用这个方法定义重要的 Lebesgue 测 度. 本节要点 本节所述测度的延拓过程思路较复杂, 论证较繁难. 应注意讲 清主要思路, 定理的证明应注意交代主要思想. 在 2.1 中我们给出了几个简单的测度的例子. 但一般说来, 要在一个比较复杂的集 类上定义一个满足某些特定条件的测度, 往往并非易事. 设R 是一个环, σ (R ) 是由R 生成的σ -代数. 一般情况下, σ (R ) 要比R 大得多. 显然, 在R 上定义一个测度要比直 接在σ (R ) 定义容易. 因此, 如果我们要在σ (R ) 定义一个满足某些特定条件的测度, 我 们可以先在R 上定义这个测度, 然后再设法延拓到σ (R ) 上去. 本节将证明, 若 µ 是定 义在环R 上的测度, 则 µ 总可以延拓到一个包含σ (R ) 的σ -代数上去. 大体上按照如 下步骤进行: 设 µ 是定义在环R 上的测度, 用覆盖的方式将 µ 延拓为P (X ) 上的集函数, 得到一个外测度. 外测度一般不是可数可加的, 因而一般不是一个测度. 将这个外测度限 制在一个适当的较小的集类上, 外测度在这个集类上是可数可加的, 因而得到一个测度. 这个集类一般比σ (R ) 要大 , 从而扩大了测度的定义域. 这是一种常用的方法. 许多重 要的测度可以用这种方法构造出来. 本节仍设 X 是一固定的非空集,P (X ) 是 X 的全体子集所成的集类. 外测度 设C 是一个非空集类, A ⊂ X. 若{ } An 是C 中的有限或无穷序列, 使得 U k n A An =1 ⊂ (或 U ∞ = ⊂ n 1 A An ), 则称{ } An 是 A 的一个C 覆盖. 由于有限并总可以写成可数 并(只要令 A A (n k), n = k > 则U U ∞ = = = 1 n 1 n k n An A ). 因此不妨只考虑由可数个集构成的覆盖. 设 µ 是环R 上的测度. 对每个 A ⊂ X , 令 ( ) inf{ ( ) :{ } }. 1 A A An 是A的R 覆盖 n ∑ n ∞ = ∗ µ = µ 若 A 无R 覆盖, 则令 ( ) = +∞. ∗ µ A 这样定义的 ∗ µ 是定义在P (X ) 上的非负值集函数. 称 ∗ µ 为由 µ 导出的外测度
定理1设是环上的测度.4为由导出的外测度.则满足 (i).4'(②)=0 (i)单调性:若AcB,则*(A)≤H'(B) (i)次可数可加性:对X中的任意一列集{A}成立 ((A,)≤∑u'(An) 证明由于{}是空集必的一个覆盖,故'(⑦)≤川()=0.因此4'()=0 设AcB,则B的每个界覆盖也是A的覆盖这蕴涵'(A)≤'(B).下面证明p 具有次可数可加性.设{An}是X的一列子集.不妨设'(A)<+∞,n≥1(否则(1)显然 成立)现在任意给定E>0.由的定义,对每个n≥1,存在An的一个覆盖 {Cnk}k21,使得 ∑ACn)≤A(A,)+5 由于(Cnk,nk≥1是An的一个界覆盖,由(2)得到 (U4)22(Cn)(4)+2)=2(4)+E 由于E>0是任意的,因此得到 (∪4)≤∑'(4) 即具有次可数可加性 可测集由导出的外测度定义在X的全体子集所成的集类上.但的定义域 太大,一般不满足可数可加性.因而一般不是测度.下面将证明,可以通过适当的限制条 件挑选出一部分集即所谓“可测集”,这些集构成一个σ-代数.将限制在这个 a-代数上,凵满足可数可加性,因而成为一个测度.而且这个a一代数一般要比 的定义域要大,于是就扩大了原来测度的定义域 定义2设是环上的测度,是由导出的外测度.又设EcX.若对任意 AcX,均有 (A)='(A∩E)+'(A∩E) (图2-1)则称E是p-可测集.p可测集的全体所成的集类记为 等式(3)称为 Caratheodory条件(简称为卡氏条件).由于外测度p具有次可数可加性, 因此对任意AcX成立 (A)=(A∩E)∪(AnE)≤(AE)+p(A∩E)
48 定理 1 设 µ 是环R 上的测度. ∗ µ 为由 µ 导出的外测度. 则 ∗ µ 满足: (i). (∅) = 0. ∗ µ (ii).单调性: 若 A ⊂ B, 则µ ∗ (A) ≤ (B). ∗ µ (iii).次可数可加性: 对 X 中的任意一列集{ } An 成立 ( ) ( ). 1 1 n n n An ∑ A ∞ = ∗ ∞ = ∗ µ U ≤ µ (1) 证明 由于{∅}是空集∅ 的一个R 覆盖, 故 (∅) ≤ (∅) = 0. ∗ µ µ 因此 (∅) = 0. ∗ µ 设 A ⊂ B, 则 B 的每个R 覆盖也是 A 的R 覆盖. 这蕴涵 (A) (B). ∗ ∗ µ ≤ µ 下面证明 ∗ µ 具有次可数可加性. 设{ } An 是 X 的一列子集. 不妨设 ( ) < +∞, ≥ 1 ∗ A n µ n (否则(1)显然 成立). 现在任意给定 ε > 0. 由 ∗ µ 的定义, 对每个 n ≥ 1, 存在 An 的一个 R 覆盖 { } , Cn,k k≥1 使得 ( ) ( ) . 1 , n n k Cn k A 2 ∑ ≤ + ∞ = ∗ ε µ µ (2) 由于{ , , 1} Cn,k n k ≥ 是U ∞ n=1 An 的一个R 覆盖, 由(2)得到 ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) . 1 1 1 , 1 1 µ ε ε µ µ µ = + 2 ≤ ∑∑ ≤ ∑ + ∑ ∞ = ∗ ∞ = ∗ ∞ = ∞ = ∞ = ∗ n n n n n n n k n k UAn C A A 由于ε > 0是任意的, 因此得到 ( ) ( ). 1 1 ∑ ∞ = ∗ ∞ = ∗ ≤ n n n µ UAn µ A 即 ∗ µ 具有次可数可加性. 可测集 由 µ 导出的外测度 ∗ µ 定义在 X 的全体子集所成的集类上. 但 ∗ µ 的定义域 太大, 一般不满足可数可加性. 因而一般不是测度. 下面将证明, 可以通过适当的限制条 件挑选出一部分集即所谓 可测集 这些集构成一个σ − 代数. 将 ∗ µ 限制在这个 σ − 代数上, ∗ µ 满足可数可加性, 因而成为一个测度. 而且这个σ − 代数 一般要比 µ 的定义域R 要大, 于是就扩大了原来测度的定义域. 定义 2 设 µ 是环R 上的测度, ∗ µ 是由 µ 导出的外测度. 又设 E ⊂ X. 若对任意 A ⊂ X , 均有 ( ) ( ) ( ). c A = A ∩ E + A ∩ E ∗ ∗ ∗ µ µ µ (3) ( 图 2 1)则称 E 是 ∗ µ -可测集. ∗ µ -可测集的全体所成的集类记为 . ∗ R 等式(3)称为Caratheodory条件(简称为卡氏条件). 由于外测度 ∗ µ 具有次可数可加性, 因此对任意 A ⊂ X 成立 ( ) (( ) ( )) ( ) ( ). c c A = A ∩ E ∪ A ∩ E ≤ A ∩ E + A ∩ E ∗ ∗ ∗ ∗ µ µ µ µ
A∩E A∩E 图 所以(3)式等价于 (A)≥4(A∩E)+'(A∩E 因此集E是可测的当且仅当对任意AcX,(4)式成立.又由于当'(A)=+∞时(4) 总是成立的,因此若对任意AcX,当'(4)<+∞时(4)式成立,则E是p可测的 显然,空集必和全空间X是μ'-可测集.又由p的单调性和(4)可以看出若 '(E)=0,则E是μ-可测集 思考题证明集E是可测集当且仅当对任意AcE和BCEC成立 A∪ 引理3设E1,…,En是互不相交的可测集.则对任意AcX,成立 (An(UE)=∑(A∩E) 证明用数学归纳法.当n=1时(5)显然成立.假定(5)对n=k时成立.因为 E1,…,E,是互不相交的.所以 A∩(U EOE,=AoE k+1 A∩(UE k+1 A∩(UE) 于是由Ek+1的-可测性和归纳法假设,我们有 AUE=A∪UE +AmUE|⌒Ek
49 图 2 1 所以(3)式等价于 ( ) ( ) ( ). c A ≥ A ∩ E + A ∩ E ∗ ∗ ∗ µ µ µ (4) 因此集 E 是 ∗ µ -可测的当且仅当对任意 A ⊂ X , (4)式成立. 又由于当 = +∞ ∗ µ (A) 时(4) 总是成立的, 因此若对任意 A ⊂ X , 当 < +∞ ∗ µ (A) 时(4)式成立, 则 E 是 ∗ µ -可测的. 显然, 空集 ∅ 和全空间 X 是 ∗ µ -可测集. 又由 ∗ µ 的单调性和(4)可以看出若 ( ) = 0, ∗ µ E 则 E 是 ∗ µ -可测集. 思考题 证明:集 E 是 ∗ µ -可测集当且仅当对任意 A ⊂ E 和 C B ⊂ E 成立 (A B) (A) (B). ∗ ∗ ∗ µ ∪ = µ + µ 引理 3 设 E En , , 1 L 是互不相交的 ∗ µ -可测集. 则对任意 A ⊂ X , 成立 ( ( )) ( ). 1 1 i n i n i A ∩ Ei = ∑ A ∩ E = ∗ = ∗ µ U µ (5) 证明 用数学归纳法. 当 n = 1 时(5)显然成立. 假定(5)对 n = k 时成立. 因为 E En , , 1 L 是互不相交的. 所以 ( ) ( ). ( ) , 1 1 1 1 1 1 1 1 U U U k i i c k k i i k k k i i A E E A E A E E A E = + + = + + + = ∩ ∩ = ∩ ∩ ∩ = ∩ 于是由 Ek+1 的 ∗ µ -可测性和归纳法假设, 我们有 ∩ + ∩ + ∩ = ∩ ∩ + + = ∗ + + = ∗ + = ∗ c k k i i k k i i k i i A E E A E A E E 1 1 1 1 1 1 1 1 U U U µ µ µ A E C A ∩ E A ∩ E
(A∩E1) (2 ∑山(A∩E) 因此当n=k+1时(5)式成立.因此(5)对任意n成立■ 定理4设H是环上的测度,是由p导出的外测度,是可测集的全体 所成的集类.则有 (i).”是σ-代数 (i).限制在是”上是一个测度 证明(i)先证明”是一个代数.由于空集和全空间X是'-可测集故非 空.由可测集的定义立即可以看出若E是4-可测的,则E也是可测的,因 此对余运算封闭.往证对有限并的封闭性.设E1,E2∈.令E=E1∪E2,注 意到E=E1∪(E∩E2),利用E1和E2的可测性,对任意AcX,我们有 (A∩E)+'(A∩E) ≤['(AnE1)+(A∩E∩E2)+'(A∩E∩E2) =(A∩E1)+[(A∩E1nE2)+'(∩E)∩E2 =(A∩E1)+4(AE)='(A A∩EC=A∩E1∩E2 AAE1X∩E∩ 图2 (参见图2-2)即E满足卡氏条件(4)式.这表明E=E1∪E2∈”.因此是一个代数 为证是一个-代数,只需再证明R对不相交可数并运算封闭即可(参见第一章习题
50 ( ). ( ) . 1 1 1 1 ∑ + = ∗ = ∗ + ∗ = ∩ = ∩ + ∩ k i i k i k i A E A E A E µ µ µ U 因此当 n = k +1时(5)式成立. 因此(5)对任意n 成立. 定理 4 设 µ 是环R 上的测度, ∗ µ 是由 µ 导出的外测度. ∗ R 是 ∗ µ -可测集的全体 所成的集类. 则有 (i). ∗ R 是σ -代数. (ii). ∗ µ 限制在是 ∗ R 上是一个测度. 证明 (i).先证明 ∗ R 是一个代数. 由于空集∅ 和全空间 X 是 ∗ µ -可测集. 故 ∗ R 非 空. 由 ∗ µ -可测集的定义立即可以看出若 E 是 µ∗ −可测的, 则 c E 也是 ∗ µ -可测的, 因 此 ∗ R 对余运算封闭. 往证 ∗ R 对有限并的封闭性. 设 E1 , E2 ∈ ∗ R . 令 E = E1 ∪ E2 .注 意到 ( ) E E1 E1 E2 c = ∪ ∩ , 利用 E1 和E2 的可测性, 对任意 A ⊂ X , 我们有 A E A E A A E A E E A E E A E A E E A E E A E A E c c c c c c c c ( ) ( ) ( ( ) [ (( ) ) (( ) )] [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = ∩ + ∩ = = ∩ + ∩ ∩ + ∩ ∩ ≤ ∩ + ∩ ∩ + ∩ ∩ ∩ + ∩ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ 图 2 2 (参见图 2 2)即 E 满足卡氏条件(4)式. 这表明 E = E1 ∪ E2 ∈ ∗ R . 因此 ∗ R 是一个代数. 为证 ∗ R 是一个σ -代数, 只需再证明 ∗ R 对不相交可数并运算封闭即可(参见第一章习题 A E1 E2 C c c A∩ E = A∩ E1 ∩ E2 A ∩ E1 A E1 E2 C ∩ ∩
第20题)设En}R,并且E∩E=(i≠)令E=UE,由于R是代数 故UE,∈R,n21.利用引理223,对任意ACX,我们有 A)=HAQUE, ∩(UE) ≥川AUE|+(A∩E) ∑山(A∩E)+'(A∩E) (6)式对任意n都成立.在(6)中令n→>∞,并利用外测度的次可数可加性,得到 4)≥∑(AnE)+(A∩E)≥'(A∩E)+'(A∩E°) 上式表明E满足卡氏条件(4)式因此E=∪En∈R这就证明了”是a代数 (i).为证是”上的测度,只需证明在”上是可数可加的.设{En}c界 并且E,∩E,=(≠八)由外测度的次可数可加性,我们有(UE)≤∑(E) 另一方面,在(5)中令A=X得到 ∑'(E)=A'(UE)≤(UE) 上式中令n→>∞,得到 ∑'(E,)≤'(UE 因此 UE,)=∑(E) 即'在”上是可数可加的所以是”上的测度■ 注1从定理4的证明可以看出,定理4的结论(i)和(i)并不依赖于环咒上的测度 ,只用到了定理1中'所满足的性质因此,我们可以定义任何满足定理1中的 (i),(i)和(i)的集函数为外测度然后和定义2一样定义山可测集则定理4的结 论对这样定义的一般的外测度仍成立 测度的延拓由定理4知道”是一个a-代数,限制在”上是一个测度,一个
51 第 20 题). 设{En } ⊂ ∗ R , 并且 E E (i j). i ∩ j = ∅ ≠ 令 . 1 U ∞ = = n E En 由于 ∗ R 是代数, 故 ∈ = U n i Ei 1 ∗ R , n ≥ 1. 利用引理 2.2.3, 对任意 A ⊂ X , 我们有 ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 c n i i c n i i c n i i n i i A E A E A E A E A A E A E = ∩ + ∩ + ∩ ≥ ∩ + ∩ = ∩ ∗ = ∗ ∗ = ∗ = ∗ = ∗ ∗ ∑µ µ µ µ µ µ µ U U U (6) (6)式对任意 n 都成立. 在(6)中令n → ∞, 并利用外测度的次可数可加性, 得到 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 1 c c i A ≥ A∩ Ei + A∩ E ≥ A∩ E + A∩ E ∗ ∗ ∗ ∞ = ∗ ∗ µ ∑µ µ µ µ 上式表明 E 满足卡氏条件(4)式 因此 = ∈ ∞ = U n 1 E En ∗ R . 这就证明了 ∗ R 是σ -代数. (ii).为证 ∗ µ 是 ∗ R 上的测度, 只需证明 ∗ µ 在 ∗ R 上是可数可加的. 设{En } ⊂ ∗ R , 并且 E E (i j). i ∩ j = ∅ ≠ 由外测度的次可数可加性, 我们有 ( ) ( ). 1 1 ∑ ∞ = ∗ ∞ = ∗ ≤ i i i µ UEi µ E 另一方面, 在(5)中令 A=X 得到 ( ) ( ) ( ). 1 1 1 U U ∞ = ∗ = ∗ = ∗ ∑ = ≤ i i n i i n i µ Ei µ E µ E 上式中令 n → ∞, 得到 ( ) ( ). 1 1 U ∞ = ∗ ∞ = ∗ ∑ ≤ i i i µ Ei µ E 因此 ∑ ∞ = ∗ ∞ = ∗ = 1 1 ( ) ( ) i i i µ UEi µ E , 即 ∗ µ 在 ∗ R 上是可数可加的. 所以 ∗ µ 是 ∗ R 上的测度. 注 1 从定理.4 的证明可以看出, 定理 4 的结论(i) 和(ii) 并不依赖于环R 上的测度 µ , 只用到了定理 1 中 ∗ µ 所满足的性质. 因此, 我们可以定义任何满足定理 1 中的 (i),(ii) 和(iii) 的集函数 ∗ µ 为外测度. 然后和定义 2 一样定义 ∗ µ 可测集. 则定理 4 的结 论对这样定义的一般的外测度 ∗ µ 仍成立. 测度的延拓 由定理 4 知道 ∗ R 是一个σ -代数, ∗ µ 限制在 ∗ R 上是一个测度. 一个