因为w(tn)=f(zo)z(t6)≠0,所以 复变数与 Arg w(to)=Argf(zo)+arg z(to). 都曲线工在m处切线正向曲线C在a处切线正向 积与m轴正向之间的夹角与轴正向之间的夹角 如果将x轴与u轴重合,将y轴与v轴重合,即将z 变平面与平面重叠,那么曲线C在动处的切线转动 换 Argf(z0)之后与曲线r在w处的切线方向一致 在这个意义上,Argf(a)就是曲线C经过w=f(z) 映射后在动处的转动角.显然转动角与C无关
因为 w(t0 ) f (z0 )z (t0 ) 0, 所以 A 0 0 0 rg w(t ) Arg f (z ) Arg z (t ). 曲线在w0处切线正向 与u轴正向之间的夹角 曲线C在z0处切线正向 与x轴正向之间的夹角 如果将x轴与u轴重合, 将y轴与v轴重合, 即将z 平面与w平面重叠, 那么曲线C在 z0处的切线转动 A 0 rg f (z )之后与曲线 在 w0处的切线方向一致. 在这个意义上, 就是曲线C 经过w=f (z) A 0 rg f (z ) 映射后在z0处的转动角. 显然转动角与C 无关
复 如果C1:z=列1(1),C2:z=2(1)(a≤t≤B是 变过点的D内两条有向光滑曲线,n=x()=x3( 数则在映射v=f(下,C和C2在种平面上的像分别为 与 T1:w=w1()=f{z1(D)(a≤t≤B) 积 2:W=w2(t)=∫2()l(a≤t≤B), 变 换并且w0=f(t)=z2(4)因此 C-T Argf(zo=Arg wi (to)-Arg z (to) 2T2 Arg /'(z0)=Argw2(to)-Argz2(
如果 C1 :z z1(t), C2 :z z2 (t) ( t )是 过z0点的D内两条有向光滑曲线，0 1 0 2 0 z z (t ) z (t ), 则在映射w=f (z)下, C1和C2在w平面上的像分别为 1 1 1 : w w (t) f[z (t)]( t ), 2 2 2 : w w (t) f[z (t)]( t ), 并且 w0 f [z1 (t0 )] f [z2 (t0 )]. 因此 C1 1 A 0 1 0 1 0 rg f (z ) Arg w(t ) Arg z (t ) C2 2 A 0 2 0 2 0 rg f (z ) Arg w(t ) Arg z (t )
复所以 Arg w2(to)-Arg W1(to)=Arg z2(to)-Arg 1(to) 变数与积分变换 r1和2在m处的夹角G1和C2在处的夹角 w=f() 过z两条光滑曲线C1、C2在处夹角的大小与方向 和在映射wf(z)下的像T1、I2在w处夹角的大小与 方向相同,即f(zn)≠0时,映射v=f(z)具有保角性
2 1 C1 . w0 w f (z) C2 0 z . 所以 A 2 0 1 0 2 0 1 0 rg w (t ) Arg w (t ) Arg z (t ) Arg z (t ). 1和2在w0处的夹角 C1和C2在z0处的夹角 过z0两条光滑曲线C1、C2在 z0处夹角的大小与方向 和在映射w=f (z)下的像1、2在w0处夹角的大小与 方向相同, 即 时, 映射w=f (z)具有保角性. 0 f (z ) 0
复[(2)r(x)的几何意义 变 副(=如m1()-f(xm知 数 2440-zo '( o) 与 w=f(),v(w) 积 变 换 当∫(n)≠0时,f(z)是映射w=f()在x处的伸缩 率.它与C无关,即映射w=f(z)具有伸缩率不变性
0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim . ( ) z z z z f z f z w w w t f z z z z z z t C v O u y (w) O x (z) Q0 Q w0 w . . w f (z) P0 P 0 z z . . (2) f (z0 ) 的几何意义 当 时, 是映射w=f (z)在z f (z0 ) 0 f (z0 ) 0处的伸缩 率. 它与C无关, 即映射w=f (z)具有伸缩率不变性. 0 z z w w0 0 z (t ) 0 w(t )
复 5.1.4保角映射的概念 变 定义51设=f(z)在点的邻域内有定义.如 数果n=f()在处具有保角性和伸缩率不变性,则称 与 和映射w=f()在a处是保角映射如果vf(2在区域 分D内的每一点都是保角映射,则称w=f(x)是区域D 变 换/上的保角映射 定理5.1若wf(x)在x处解析,且f(zn)≠0,则 w=f(z)在处是保角映射.若w=∫(z)在区域D解析, 且在D内∫(z)≠0,则w=f(z)是区域D上的保角映射
5.1.4 保角映射的概念 定义5.1 设w=f (z)在点z0的邻域内有定义. 如 果w=f (z)在 z0处具有保角性和伸缩率不变性, 则称 映射w=f (z)在z0处是保角映射. 如果w=f (z)在区域 D内的每一点都是保角映射, 则称w=f (z)是区域 D 上的保角映射. 定理5.1 若w=f (z)在z0处解析, 且 f (z0 ) 0, 则 w=f (z)在z0处是保角映射. 若w=f (z)在区域 D解析, 且在D内 f (z) 0, 则w=f (z)是区域 D上的保角映射