武汉大学：《线性代数》课程教学资源（习题参考答案）同济第四版《线性代数习题全解》

线性代数(同济四版)习题参考答案 黄正华 Email:huangzh@whu.edu.cn 武汉大学数学与统计学院,湖北武汉430072 WUHAN UNIVERSITY

线性代数 (同济四版) 习题参考答案 黄正华 Email: huangzh@whu.edu.cn 武汉大学 数学与统计学院, 湖北 武汉 430072 Wuhan University

目录 第一章行列式 第二章矩阵及其运算 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 第四章向量组的线性相关性 第五章相似矩阵及二次型

目 录 第一章 行列式 1 第二章 矩阵及其运算 17 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 33 第四章 向量组的线性相关性 48 第五章 相似矩阵及二次型 69

第一章行列式 课后的习题值得我们仔细研读.本章建议重点看以下习题:5.(2),(5);7;8.、(2).(这几个题号建立有超级链接)若 您发现有好的解法,请不吝告知 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)1 a b 111 (4) a2 b2 c2 解:(1) 2×(-4)×3+0×(-1)×(-1)+1×1×8-0×1×3-2×(-1)×8-1×(-4)×(-1) -24+8+16-4 b c al=acb+ bac cba-bb-aaa-ccc=3abc-a2-b3-c abc=b2+a2+a2-a2-b2-d2=(a-b)(b-(c-a) y I+y I =r(r+)y+yr(a +y)+(r+y)yz x+y)3-x3 3xy(x+y)-y3-3x2y-3y2x-x3-y3-x3 2(x3+y3 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数 (1)1234; (2)4132; (3)3421 (4)2413 (5)13…(2n-1)24…(2n); (6)13…(2n-1)(2n) (1)逆序数为0 (2)逆序数为4:41,43,42,32

第一章 行列式 课后的习题值得我们仔细研读. 本章建议重点看以下习题: 5.(2), (5); 7; 8.(2). (这几个题号建立有超级链接.) 若 您发现有好的解法, 请不吝告知. 1 . 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 0 1 1 −4 −1 −1 8 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (2) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a b c b c a c a b ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (3) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 1 a b c a 2 b 2 c 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (4) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x y x + y y x + y x x + y x y ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ . 解: (1) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 0 1 1 −4 −1 −1 8 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 2 × (−4) × 3 + 0 × (−1) × (−1) + 1 × 1 × 8 − 0 × 1 × 3 − 2 × (−1) × 8 − 1 × (−4) × (−1) = −24 + 8 + 16 − 4 = −4. (2) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a b c b c a c a b ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = acb + bac + cba − bbb − aaa − ccc = 3abc − a 3 − b 3 − c 3 . (3) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 1 a b c a 2 b 2 c 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = bc2 + ca2 + ab2 − ac2 − ba2 − cb2 = (a − b)(b − c)(c − a). (4) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x y x + y y x + y x x + y x y ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = x(x + y)y + yx(x + y) + (x + y)yx − y 3 − (x + y) 3 − x 3 = 3xy(x + y) − y 3 − 3x 2 y − 3y 2x − x 3 − y 3 − x 3 = −2(x 3 + y 3 ). 2 . 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1) 1 2 3 4; (2) 4 1 3 2; (3) 3 4 2 1; (4) 2 4 1 3; (5) 1 3 · · ·(2n − 1) 2 4 · · ·(2n); (6) 1 3 · · ·(2n − 1) (2n) (2n − 2)· · · 2. 解 (1) 逆序数为 0. (2) 逆序数为 4: 4 1, 4 3, 4 2, 3 2. 1

第一章行列式 (3)逆序数为5:32,31,42,41,21 (4)逆序数为3:21,41,43 (5)逆序数为m2=1 72.74.76 个个个 (2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6 2n-1)(2n-2) (n-1)个 (6)逆序数为n(n-1): 32 52,54 2个 72,74,76 3个 (2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,…,(2n-1)(2n-2) (n-1)个 个 62,64 2个 (2n)2,(2n)4,(2n)6,…,(2n)(2n-2 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项. 由定义知,四阶行列式的一般项为 a1p, a2p2a3p a4 其中t为p1PP3p4的逆序数 由于p1=1,p2=3已固定,pP2P3p4只能形如13口,即1324或1342.对应的逆序数t分别为 0+0+1+0=1,或0+0+0+2=2 所以,-a1123a32a44和a123a34a4为所求 4.计算下列各行列式 2141 1202 10520 100 00-1d 10520r3-10r

2 第一章 行列式 (3) 逆序数为 5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4) 逆序数为 3: 2 1, 4 1, 4 3. (5) 逆序数为 n(n−1) 2 : 3 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 个 5 2, 5 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 个 7 2, 7 4, 7 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 个 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2n − 1) 2, (2n − 1) 4, (2n − 1) 6, . . . , (2n − 1) (2n − 2). . . . . . . . . . . . . .(n − 1) 个 (6) 逆序数为 n(n − 1): 3 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 个 5 2, 5 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 个 7 2, 7 4, 7 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 个 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2n − 1) 2, (2n − 1) 4, (2n − 1) 6, . . . , (2n − 1) (2n − 2). . . . . . . . . . . . . .(n − 1) 个 4 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 个 6 2, 6 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 个 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2n) 2, (2n) 4, (2n) 6, . . . , (2n) (2n − 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (n − 1) 个 3 . 写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项. 解: 由定义知, 四阶行列式的一般项为 (−1)t a1p1 a2p2 a3p3 a4p4 , 其中 t 为 p1p2p3p4 的逆序数． 由于 p1 = 1, p2 = 3 已固定, p1p2p3p4 只能形如 13¤¤, 即 1324 或 1342. 对应的逆序数 t 分别为 0 + 0 + 1 + 0 = 1, 或 0 + 0 + 0 + 2 = 2. 所以, −a11a23a32a44 和 a11a23a34a42 为所求. 4 . 计算下列各行列式: (1) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 4 1 2 4 1 2 0 2 10 5 2 0 0 1 1 7 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (2) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 1 4 1 3 −1 2 1 1 2 3 2 5 0 6 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (3) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −ab ac ae bd −cd de bf cf −ef ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (4) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 1 0 0 −1 b 1 0 0 −1 c 1 0 0 −1 d ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ . 解: (1) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 4 1 2 4 1 2 0 2 10 5 2 0 0 1 1 7 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ r1↔r2 ====== − ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 2 0 2 4 1 2 4 10 5 2 0 0 1 1 7 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ r2−4r1 ======= r3−10r1 − ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 2 0 2 0 −7 2 −4 0 −15 2 −20 0 1 1 7 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

线性代数(同济四版)习题参考答案 1202 0117 0117 0-152-20r3+152001785 0015 00945 2141 2140 2140 3-121 1230 506 0000 r2triadfbce0 0 2=-adfbce 4abcdef 020 01+ab 0 b10 10 1+ab 0 按第1列(-1)(-1)2+1 1 C3+dc? 1 c 1+cd 按第3行 1)(-1)3 abcd +ab+ cd+ ad+1 11+cd 5.证明 (1)2a+b2b=(a-b 2a a+b 2b 2a b-a 26- 2a 111 0 b2=a2 b+ (b-a)(b-a) (2) ay +bz az+bar az+by=(a3+b)y az+br az+by ay+ bz 2 y

线性代数 (同济四版) 习题参考答案 3 r2↔r4 ====== ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 2 0 2 0 1 1 7 0 −15 2 −20 0 −7 2 −4 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ r4+7r2 ======= r3+15r2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 2 0 2 0 1 1 7 0 0 17 85 0 0 9 45 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 17 × 9 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 2 0 2 0 1 1 7 0 0 1 5 0 0 1 5 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0. (2) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 1 4 1 3 −1 2 1 1 2 3 2 5 0 6 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ c4−c2 ===== ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 1 4 0 3 −1 2 2 1 2 3 0 5 0 6 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ r4−r2 ===== ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 1 4 0 3 −1 2 2 1 2 3 0 2 1 4 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ r4−r1 ===== ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 1 4 0 3 −1 2 2 1 2 3 0 0 0 0 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0. (3) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −ab ac ae bd −cd de bf cf −ef ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = adf ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −b c e b −c e b c −e ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = adfbce ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −1 1 1 1 −1 1 1 1 −1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ r2+r1 ===== r3+r1 adfbce ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −1 1 1 0 0 2 0 2 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = −adfbce ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 2 2 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 4abcdef. (4) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 1 0 0 −1 b 1 0 0 −1 c 1 0 0 −1 d ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ r1+ar2 ====== ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 1 + ab a 0 −1 b 1 0 0 −1 c 1 0 0 −1 d ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 按第 1 列 ======== 展开 (−1)(−1)2+1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 + ab a 0 −1 c 1 0 −1 d ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ c3+dc2 ====== ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 + ab a ad −1 c 1 + cd 0 −1 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 按第 3 行 ======== 展开 (−1)(−1)3+2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 + ab ad −1 1 + cd ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = abcd + ab + cd + ad + 1. 5 . 证明: (1) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 2 ab b2 2a a + b 2b 1 1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = (a − b) 3 ; 证明 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 2 ab b2 2a a + b 2b 1 1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ c2−c1 ===== c3−c1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 2 ab − a 2 b 2 − a 2 2a b − a 2b − 2a 1 0 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ =(−1)3+1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ab − a 2 b 2 − a 2 b − a 2b − 2a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = (b − a)(b − a) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a b + a 1 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = (a − b) 3 . (2) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ax + by ay + bz az + bx ay + bz az + bx ax + by az + bx ax + by ay + bz ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = (a 3 + b 3 ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x y z y z x z x y ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ;