复 例51形=2在≠处是保角映射,但在z=0处不 变具有保角性 数 解因为w=2x,所以当x0时,w≠0.因此在 5z≠0处,v=z是保角映射 积 当z=0时,在z平面内取过z=0点的两条射线为 变argz=0(正实轴和agx=a≠0 i8 Z=re 换 2 22i6 z =re 不保角 2a
例5.1 w=z 2 在z0处是保角映射, 但在z=0处不 具有保角性. 解 因为 w 2z, 所以当z0时, w 0. 因此在 z0处, w=z 2是保角映射. 当z=0时, 在 z平面内取过 z=0点的两条射线为 2 x y O (z) u v O (w) arg z 0(正实轴)和 arg z 0. 2 w z i z re 2 2 2i z r e 不保角
5.1.5关于保角映射的一般理论 变 实际上,定理5.1逆定理也成立.因此 数 与 映射〃=∫(z)是区域D上的保角映射的充分必要 条件是f(2)在D内解析,并且f()≠0 变换 并且可以证明 如果f(z)是区域D上不恒为常数的解析函数,则 点集G」∫(D)是w平面上的区域,即解析函数把区域 映射成区域
5.1.5 关于保角映射的一般理论 实际上, 逆定理也成立. 因此 映射 w=f (z)是区域 D上的保角映射的充分必要 条件是f (z)在D内解析, 并且 f (z) 0. 并且可以证明 如果f (z)是区域D上不恒为常数的解析函数, 则 点集 G=f (D)是 w 平面上的区域, 即解析函数把区域 映射成区域
复基本问题: 变 画(1)给定两个区域D和G,是否存在双方单值的保 角映射,把D映射成G?存在性间题) 与 (2)如果存在这样的映射如何求出?(实现性问题) 变关于存在性问题,有下面的 Riemann定理 换 定理52如果D和G分别是z平面和w平面平面 上边界多于一个点的单连通区域,则存在双方单值 的保角映射w=f(z),把D映射成G
基本问题: (1) 给定两个区域 D和G, 是否存在双方单值的保 角映射, 把D映射成G ? (存在性问题) (2) 如果存在这样的映射, 如何求出? (实现性问题) 关于存在性问题，有下面的Riemann定理. 定理5.2 如果 D和G分别是 z平面和 w平面平面 上边界多于一个点的单连通区域, 则存在双方单值 的保角映射w=f (z), 把D映射成G
复 Riemann定理中的保角映射f(z)不一定惟 变 画但如果再加一些条件,如f(x)=",Argf(z=0 刻(其中xn∈D,mn∈G,0≤4≤2z,则存在惟一的保 与 利角映射=(,使得G=f(D) 变换 注边界不多于一个点的情形 1)扩充复平面(没有边界点); (2)扩充复平面除去一个点,例如无穷远点(只有 个边界点
Riemann定理中的保角映射f (z)不一定惟一. 但如果再加一些条件, 如 0 0 0 0 f (z ) w , Argf (z ) (其中z0 D, w0 G, 0 0 2 ), 则存在惟一的保 角映射w=f (z), 使得G f (D). 注 边界不多于一个点的情形: (1) 扩充复平面(没有边界点); (2) 扩充复平面除去一个点, 例如无穷远点(只有一 个边界点)
复变函 关于实现性问题,可利用下面的边界对应原理 定理53设D是平面内由一条分段光滑 Jordan 刻曲线C围成的区域f(x是D及其边界C上的解析函数, 5并把C双方单值地映射成w平面上的光滑曲线T.如 积 分果C的正向映射成r的正向,则在映射v=f(a)下,C 变的内部区域D映射成r正向的左侧(若T也是 Jordan 换 曲线,则映射成厂的内部)区域;如果C的正向映射成 r的负向,则C的内部区域映射成r的右侧(若r也是 Jordan曲线,则映射成r的外部)区域
关于实现性问题, 可利用下面的边界对应原理. 定理5.3 设D是z平面内由一条分段光滑Jordan 曲线C围成的区域, f (z)是D及其边界C上的解析函数， 并把C双方单值地映射成 w平面上的光滑曲线. 如 果 C的正向映射成的正向, 则在映射w=f (z)下, C 的内部区域D映射成 正向的左侧 (若也是Jordan 曲线, 则映射成 的内部)区域; 如果C的正向映射成 的负向, 则C的内部区域映射成 的右侧 (若也是 Jordan曲线, 则映射成 的外部)区域