5.1.2两曲线的夹角 复变函数与积分变一 设平面内的有向光滑曲线C:z=z(t)(a≤t≤B) 数当t增大时,点z移动的方向为正向 在曲线C上取两点:P艹(t,P→孔(t+△r) 分作割线PP,规定割线的正向 拱对应于增大的方向 z(o△r 于是割线PP与向量 Qa+43同向0
5.1.2 两曲线的夹角 当t 增大时, 点 z 移动的方向为正向. 设z平面内的有向光滑曲线C :z z(t) ( t ), y O x C . . P0 P ( ) 0 z t ( ) 0 z t t 在曲线C上取两点: P0 0 z(t ), P 0 z(t t). 作割线P0P , 规定割线的正向 对应于t 增大的方向. 于是割线P0P 与向量 同向. 0 0 z(t t) z(t ) t
复变数与 当洛C P时,割线PP—C在P0处切线 z(0+△)-z(t0) (to) △t→>0 △t 秋因为C是北滑曲线,所以z(4)≠0(a<<)于是 变向量x()是曲线C的切向 换 量,与C相切于点0=x(t0 z(to+△n) 规定z(t)的方向为C z(0)= 上点z处切线的正向
割线 C在P0处切线. P0P C . . 0 p p ( ) 0 z t ( ) 0 z t t ( ) 0 z t y O x 当P 时, P0 沿C 0 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ). t z t t z t z t t 因为C是光滑曲线, 所以z (t0 ) 0 t0 , 于是 向量 z (t0 )是曲线C的切向 0 0 量, 与C相切于点 z z(t ). 0 规定 的方向为 z z (t0 ) C 上点z0处切线的正向
y 复()C在点处切线正向与x轴(t 变 函正向之间的夹角是Argz( Argz(o) 数 与(2)设平面内的两条有向光 积 分滑曲线G1:z=x()和C2:z=2(1)相交于a(=0)点 变 换足列处曲线C和C2正向之间 的夹角为两条曲线在动处切线 正向之间的夹角 Arg z2(to)-Arg z (to
C . 0 z y O x ( ) 0 z t A 0 rg z (t ) (1) C在点z0处切线正向与x 轴 正向之间的夹角是 A 0 rg z (t ). (2) 设z平面内的两条有向光 C2 C1 . 0 z 滑曲线 和 相交于z0 (t=t0)点. 1 1 C :z z (t) 2 2 C :z z (t) 规定z0处曲线C1和C2正向之间 的夹角为两条曲线在z0处切线 正向之间的夹角. A 2 0 1 0 rg z (t ) Arg z (t )
5.1.3导数的几何意义 复变函数与积兮变换 设wf(z)在区域D内解析,且在D内∫(z)≠0 Argf(zo)的几何意义 设C:z=x(t)(a≤t≤B)是D内过x0=x(0)的 分有向光滑曲线,t增大的方向为正向.因为C光滑, 所以z(t)≠0.对于 W=∫[z(D)(a≤t≤B), w'(t)=∫(z)z(t)≠0 于是w=f(z将z平面上有向
5.1.3 导数的几何意义 所以 z (t) 0. C 0 z . y O x (z) ( ) 0 z t 设w=f (z)在区域 D内解析, 且在 D内 f (z) 0. (1) Arg f (z0 ) 的几何意义 设 C :z z(t) ( t ) 是 D内过 z0 z(t0 ) 的 有向光滑曲线, t 增大的方向为正向. w f[z(t)] ( t ), w(t) f (z)z (t) 0. 于是w=f (z)将z平面上有向 对于 因为 C 光滑
复光滑曲线C映射成平面内过点mn=/(x)的有向 变光滑曲线r:m=n1a)(a≤≤)t增大的方向 数为正向,且v(4)=f1)r()是曲线在n处的 5切向量 积分变换 w=f(z) z'(t0)
光滑曲线 : w f[z(t)] t , t 增大的方向 C 0 z . y O x (z) ( ) 0 z t v O u (w) w0 . w f (z) 光滑曲线C 映射成w平面内过点w0 f (z0 ) 的有向 为正向, 且 w(t0 ) f [z(t0 )]z (t0 )是曲线在w0处的 切向量. 0 w(t )