Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D Q. Dai, 2003 (G(a)1=∑ac,lh≤Cm|m,wm,k 从(5)式得 ()=cg(t-k) 所以 (t) +∑k)g(-) ≤∑sla|Em(1+|t-k)-m+∑km2Cm|k叫go(t-k ≤Mm(1+1)-m∑s2lck+Kmm∑k>9o(t-k)川 ≤Km(1+1)-m∑k(ck+gyo(t-k) 因为∑|go(t-k)关于t以1为周期,故有 ≤sp∑|go(t-k) 0≤t≤1 ≤ kim sup∑(1+|t-k) 0<t<1 从而推得是r-正则的。 定理4类似于代数中的Gram- Schmidt正交化过程。它虽然保持正则性,但不保持紧支集 性质 例:设r∈Z+,令 t)=X10 米···水 (t) 即g是x的r次卷积。显然 suppy C0,r+1],且g在整区间上为多项式,g∈Cm-1(R) 设V=S(9) 因为 lw 所以 r+1 e-i(r+1)/2 由此得
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D.Q. Dai,2003 6 (G(ω))−1 = X k cke ikω , |ck| ≤ Cm |k| −m , ∀m, k. 从(5)式得 ϕ(t) = X k ckg(t − k), 所以 ¯ ¯ϕ (α) (t) ¯ ¯ ≤ ³P |k|≤t/2 + P |k|>t/2 ´ |ckg α (t − k)| ≤ P |k|≤t/2 |ck|Km(1 + |t − k|) −m + P |k|>t/2 Cm|k| −m|g (α) (t − k)| ≤ M0 m(1 + |t|) −m P |k|≤t/2 |ck| + K00 mt −m P |k|>t/2 |g (α) (t − k)| ≤ K00 m(1 + |t|) −m P k (|ck| + |g (α) (t − k)|). 因为 P k ¯ ¯g (α) (t − k) ¯ ¯ 关于t 以1 为周期，故有 P k ¯ ¯g (α) (t − k) ¯ ¯ ≤ sup 0≤t≤1 P k ¯ ¯g (α) (t − k) ¯ ¯ ≤ km sup 0≤t≤1 P k (1 + |t − k|) −m ≤ ∞ 从而推得ϕ是r－正则的。 定理4类似于代数中的Gram－Schmidt正交化过程。它虽然保持正则性，但不保持紧支集 性质。 例：设r ∈ Z +，令 g(t) = χ[0,1] ∗ · · · ∗ χ[0,1](t) 即g 是χ[0,1] 的r次卷积。显然suppg ⊂ [0, r + 1]，且g在整区间上为多项式，g ∈ C r−1 (R)。 设V0 = S(g)。 因为 χˆ[0,1](ω) = 1 − e −iω iω 所以 ∧ g(ω) = µ 1 − e −iω iω ¶r+1 = e −i(r+1)ω/2 ( ω 2 ) −r−1 (sin ω 2 ) r+1 . 由此得
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D.Q. Dai, 2005 u+2πk)=|sin (兰+k)2+2 利用复变函数中的公式 (2+k7)2 sin 2 2 并对z两边求导数,可得,例如 故当r=0时 +2丌k 所以{9(t-k)}k∈z是标准正交系 当r=1时 ∑|+27 (+k丌)4 由定理3推得{9(t-k)}kez是S(g)的 Riesz基,但不是正交基 令 y(u)=9()/∑ (sn/=)2/(1-2sm2)2 则{y(t-k)}k∈z是S(g)的标准正交基。但φ没有紧支集(理由?) 3.双尺度方程 双尺度方程( two scale equation)在小波基的构造中起重要的作用 设p∈L2(R),记9k(t)=212y(2t-k),j,k∈Z 设{V}e是一个给定的MRA,这里只假定y的整平移构成V的 Riesz基. 由于{(2t-k)}k∈z是V的Resz基,故每个∫∈V与一个P序列一一对应。而φ∈Voc V,故存在P序列{hk}使得 (t-k){hk}∈P2 (6)式称为双尺度方程
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D.Q. Dai,2003 7 X k ¯ ¯ ¯ ∧ g(ω + 2πk) ¯ ¯ ¯ 2 = ¯ ¯ ¯ sin ω 2 ¯ ¯ ¯ 2r+2X k 1 ( ω 2 + kπ) 2r+2 . 利用复变函数中的公式： X k 1 (z + kπ) 2 = 1 sin2 z 并对z两边求导数，可得，例如 X k 1 (z + kπ) 4 = 1 sin4 z − 2 3 1 sin2 z 故当r = 0时 X k ¯ ¯ ¯ ∧ g(ω + 2πk) ¯ ¯ ¯ 2 = 1 所以{g(t − k)}k∈Z 是标准正交系。 当r = 1时 X k ¯ ¯ ¯ ∧ g(ω + 2πk) ¯ ¯ ¯ 2 = (sin ω 2 ) 4X k 1 ( ω 2 + kπ) 4 = 1 − 2 3 sin2 ω 2 . 由定理3推得{g(t − k)}k∈Z是S(g)的Riesz基，但不是正交基。 令 ∧ ϕ(ω) = ∧ g(ω)/( P k ¯ ¯ ¯ ∧ g(ω + 2πk) ¯ ¯ ¯ 2 ) 1/2 = (sin ω 2 / ω 2 ) 2/(1 − 3 2 sin2 ω 2 ) 1/2 则{ϕ(t − k)}k∈Z是S(g)的标准正交基。但ϕ没有紧支集（理由？）. 3． 双尺度方程 双尺度方程（two scale equation）在小波基的构造中起重要的作用。 设ϕ ∈ L 2 (R)，记ϕj,k(t) = 2j/2ϕ(2j t − k), j, k ∈ Z. 设{Vj}j∈z是一个给定的MRA，这里只假定ϕ的整平移构成V0的Riesz基. 由于{ϕ(2t − k)}k∈Z是V1的Riesz基，故每个f ∈ V1与一个l 2序列一一对应。而ϕ ∈ V0 ⊂ V1，故存在l 2序列{hk}使得 ϕ(t) = X k hkϕ(2t−k) {hk} ∈ l 2 (6) (6)式称为双尺度方程
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D.Q. Dai, 2005 在(6)式两边作 Fourier变换,得 ∑hk(2t-k -itw 号∑he/2∫g(2t-k)e-(-)/2d(2t-k) 其中m0()=是∑he是由{h}∈P定义的2x周期函数,称之为对应的MRA的滤波函 数 例:对Har函数y(1)=xon(t),我们有 g(t)=y2(21)+(2t-1), 即h=h1=1 我们现在考察方程(6)有解时{hk}所应满足的必要条件 定理5:设y∈D是(6)的解,且∫(t)d≠0,则 h=2 证:由于y∈L1,p(u)连续,所以在等式y(u)=mo(u/2)(u/2)中令u=0,推得m0(0 即(7)成立 定理6:设φ连续,|(t)≤C(1+|)-1-,且构成S()的 Riesz基。则 y(t-k)=常数 当且仅当 即mo(x)=0. 证:由于φ∈L,φ(ω)连续,从定理3推得(练习:证明从ae.过渡到所有,参考 Daubechies 183 ∑|(u+27k)2≥A>0.∈R 考虑函数f(t)=∑p(t-k)。由 1∑(-k)≤∑bl(t-k)d 推得f∈L1(0,1,且周期为1。故可展开为 Fourier级数
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D.Q. Dai,2003 8 在(6)式两边作Fourier变换，得 ∧ ϕ(ω) = R∞ −∞ P k hkϕ(2t − k)e −itωdt = 1 2 P k hke −ikω/2 + R∞ −∞ ϕ(2t − k)e −i(2t−k)ω/2d(2t − k) = m0(ω/2) ∧ ϕ(ω/2) 其中m0(ω) = 1 2 P k hke −ikω 是由{hk} ∈ l 2定义的2π周期函数，称之为对应的MRA的滤波函 数。 例：对Haar函数ϕ(t) = χ[0,1](t)，我们有 ϕ(t) = ϕ(2t) + ϕ(2t − 1), 即h0 = h1 = 1。 我们现在考察方程(6)有解时{hk}所应满足的必要条件。 定理5：设ϕ ∈ L 1是(6)的解，且 R ϕ(t)dt 6= 0，则 X k hk = 2. (7) 证：由于ϕ ∈ L 1，ϕˆ(ω)连续，所以在等式ϕˆ(ω) = m0(ω/2) ˆϕ(ω/2) 中令ω = 0，推得m0(0) = 1，即(7)成立。 定理6：设ϕ连续, |ϕ(t)| ≤ C(1 + |t|) −1−² , 且构成S(ϕ)的Riesz基。则 X k ϕ(t − k) ＝常数, a.e. (8) 当且仅当 X k h2k = X k h2k+1 = 1, 即m0(π) = 0. 证：由于ϕ ∈ L 1，ϕˆ(ω)连续，从定理3推得(练习: 证明从a.e.过渡到所有, 参考Daubechies p.183). X k |ϕˆ(ω + 2πk)| 2 ≥ A > 0, ∀ω ∈ R. (9) 考虑函数f(t) = P k ϕ(t − k)。由 R 1 0 | P k ϕ(t − k)|dt ≤ P k R 1 0 |ϕ(t − k)|dt = R +∞ −∞ |ϕ(t)|dt 推得f ∈ L 1 (0, 1]，且周期为1。故可展开为Fourier级数
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D.Q. Dai, 2005 f()=∑ Chet2krt 其中 Fourier系数 ck=J∑y(t-l)e-axdt ∑J dt 由(8)式推得,(=0当k≠0,即(2k丌)=0,对任何k≠0 在等式(u)=m(u/2)(/2)两边取模并令u=2k丌,再求和得 P(0)P2 (2kr) ∑|mo(kπ)|2|(kπ)2 ∑(mo(2kx)2|2(2kr)2+|mo(2k+1)r)2|(2k+1)r)2) =|m0(0)∑|(2kr)2+|mo(r)2∑|(x+2kr)2 (0)2+|m0()2∑|2(x+2kr) 在第三个等式中,我们将求和分为奇数部分与偶数部分,第四个等式中利用了m0(u)的周期 为2 在(9)式中,令山=丌,得 所以∑h 反之,由双尺度关系,有 f(t)= hip(2t-2k-7) h-2ky(2t-1) ∑A∑kh-2k)(2t-1) ∑ng(2t-D) f(2) 所以f(2t)=f(2-1).由于f连续,令j→∞,得f(t)=f(0) 方程(8)称为单位分划( partition of unity)。当φ构成S(y)的标准正交基时,它自动地满 足,这时有
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D.Q. Dai,2003 9 f(t) = X k cke i2kπt 其中Fourier系数 ck = R 1 0 P l ϕ(t − l)e −i2kπtdt = P l R 1 0 ϕ(t − l)e −i2kπtdt = R +∞ −∞ ϕ(t)e −i2kπtdt = ˆϕ(2kπ). 由(8)式推得，ck = 0当k 6= 0，即ϕˆ(2kπ) = 0，对任何k 6= 0。 在等式ϕˆ(ω) = m0(ω/2) ˆϕ(ω/2)两边取模并令ω = 2kπ，再求和得 |ϕˆ(0)| 2 = P k |ϕˆ(2kπ)| 2 = P k |m0(kπ)| 2 |ϕˆ(kπ)| 2 = P k (|m0(2kπ)| 2 |ϕˆ(2kπ)| 2 + |m0((2k + 1)π)| 2 |ϕˆ((2k + 1)π)| 2 ) = |m0(0)| 2 P k |ϕˆ(2kπ)| 2 + |m0(π)| 2 P k |ϕˆ(π + 2kπ)| 2 = |ϕˆ(0)| 2 + |m0(π)| 2 P k |ϕˆ(π + 2kπ)| 2 . 在第三个等式中，我们将求和分为奇数部分与偶数部分，第四个等式中利用了m0(ω)的周期 为2π。 在(9)式中，令ω = π，得 m0(π) = 0 所以 P k h2k = P k h2k+1 。 反之, 由双尺度关系, 有 f(t) = P k ϕ(t − k) = P k P l hlϕ(2t − 2k − l) = P k P l hl−2kϕ(2t − l) = P l ( P k hl−2k)ϕ(2t − l) = P l ϕ(2t − l) = f(2t). 所以f(2t) = f(2−j t). 由于f连续, 令j → ∞, 得f(t) = f(0). 方程(8)称为单位分划（partition of unity）。当ϕ构成S(ϕ)的标准正交基时，它自动地满 足，这时有
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D.Q. Dai, 2005 ∑(t-k)=(0) 定理7:设φ∈∩D2是双尺度方程(6)的解。若{(t-k)}kez为标准正交系,则 mo(u)2+|mo(u+r)2=1,wu∈[0,2x] 证:由等式(2u)=m0(u)2()和定理3,得 ∑|2(2u+2kr)2 ∑|m(+kr)2|2(u+kr)2 ∑(mo(a+2k)2|2(u+2kr)2+1m(+x+2kx)2|2(u+n+2kr)) ∑(mo()2|(a+2kr)2+|mo(u+n)2|(++2km)/) mo(u)2+|mo(u+丌) 定理8:在定理7的条件下,有 ∑hnn=2=250,k∈z (11) 证:由m0(u)的定义,有 Imo(w ∑hk ∑hn 4∑(∑hn 和 hno+x)2=∑(-1∑mn=)c 利用(10),即证得(11 注:条件(10)和条件(11)是等价的 4.滤波函数mo(u) 当给定{hk},也即m0(u)时,由关系式 p(u)=m0(/2)(u/2) m()mo(2)……m0(数)(数) 令J→∞,我们得到
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 4, by D.Q. Dai,2003 10 X k ϕ(t − k) = ˆϕ(0). 定理7：设ϕ ∈ L 1 ∩ L 2是双尺度方程(6)的解。若{ϕ(t − k)}k∈Z为标准正交系，则 |m0(ω)| 2 + |m0(ω + π)| 2 = 1, ∀ω ∈ [0, 2π] . (10) 证：由等式ϕˆ(2ω) = m0(ω) ˆϕ(ω)和定理3，得 1 = P k |ϕˆ(2ω + 2kπ)| 2 = P k |m0(ω + kπ)| 2 |ϕˆ(ω + kπ)| 2 = P k ¡ |m0(ω + 2kπ)| 2 |ϕˆ(ω + 2kπ)| 2 + |m0(ω + π + 2kπ)| 2 |ϕˆ(ω + π + 2kπ)| 2 ¢ = P k ¡ |m0(ω)| 2 |ϕˆ(ω + 2kπ)| 2 + |m0(ω + π)| 2 |ϕˆ(ω + π + 2kπ)| 2 ¢ = |m0(ω)| 2 + |m0(ω + π)| 2 . 定理8：在定理7的条件下，有 X n hnhn−2k = 2δk,0, ∀k ∈ Z. (11) 证：由m0(ω)的定义，有 |m0(ω)| 2 = µ 1 2 P k hke −ikω¶ µ1 2 P k hne ikω¶ = 1 4 P k µP n hnhn−k ¶ e −ikω . 和 |m0(ω + π)| 2 = 1 4 X n (−1)k ( X n hnhn−h)e −ikω 利用(10)，即证得(11)。 注：条件(10)和条件(11)是等价的。 4． 滤波函数m0(ω) 当给定{hk}, 也即m0(ω)时，由关系式 ϕˆ(ω) = m0(ω/2) ˆϕ(ω/2) = m0( ω 2 )m0( ω 4 )· · · · · · m0( ω 2 J ) ˆϕ( ω 2 J ) 令J → ∞，我们得到