Ch16隐函数存在定理、函数相关 计划课时:6时 P205—224 2005.09.20 Ch16隐函数存在定理、函数相关(6时) §1隐函数存在定理(2时) 、隐函数概念:隐函数是表达函数的又一种方法 1.隐函数及其几何意义:以F(x,y)=0为例作介绍 2.隐函数的两个问题:i〉隐函数的存在性;ⅱ〉隐函数的解析性质 隐函数存在条件的直观意义: 三、隐函数定理 h1(隐函数存在唯一性定理)若满足下列条件 i>函数F(x,y)在以P(x0,y)为内点的某一区域DcR2上连续 ⅱ>F(xo,y)=0;(通常称这一条件为初始条件) i>在D内存在连续的偏导数F,(x,y) iv)F,(x0,y0)≠0 则在点P的某邻域∪(B0)cD内,方程F(x,y)=0唯一地确定一个定义在某区 间(x0-a,x0+a)内的隐函数y=f(x),使得 )f(x)=yo,x∈(x0-a,xo+a)时(x,f(x)U(P0)且 F(x,f(x)=0 (2)函数f(x)在区间(x0-a,x+a)内连续.(证) 四、隐函数可微性定理 Th2设函数F(x,y)满足隐函数存在唯一性定理的条件,又设在D内F2(x,y) 存在且连续.则隐函数y=f(x)在区间(x0-a,x0+a)内可导,且
Ch 16 隐函数存在定理、函数相关 计划课时： 6 时 P 205 — 224 2005. 09. 20. Ch 16 隐函数存在定理、函数相关 ( 6 时) § 1 隐函数存在定理 ( 2 时 ) 一、隐函数概念：隐函数是表达函数的又一种方法. 1．隐函数及其几何意义: 以 yxF = 0),( 为例作介绍. 2． 隐函数的两个问题: ⅰ> 隐函数的存在性; ⅱ> 隐函数的解析性质. 二、隐函数存在条件的直观意义: 三、隐函数定理: Th 1 ( 隐函数存在唯一性定理 ) 若满足下列条件: ⅰ> 函数 yxF ),( 在以 为内点的某一区域 ),( D 000 yxP 2 ⊂ R 上连续 ; ⅱ> ),( ; ( 通常称这一条件为初始条件 ) 00 yxF = 0 ⅲ> 在 D 内存在连续的偏导数 yxF ),( ; y ⅳ> ),( . 00 y yxF =/ 0 则在点 的某邻域 P0 ∪ ( ) P0 ⊂ D 内 , 方程 yxF = 0),( 唯一地确定一个定义在某区 间 ) , ( 0 α xx 0 +− α 内的隐函数 = xfy )( , 使得 ⑴ )( , 00 = yxf x ∈ ) , ( 0 α xx 0 +− α 时( xfx )( , )∈ ∪ ( ) P0 且 ( ) xfxF ≡ 0)( , . ⑵ 函数 在区间 xf )( ) , ( 0 α xx 0 +− α 内连续 . ( 证 ) 四、 隐函数可微性定理: Th 2 设函数 满足隐函数存在唯一性定理的条件 , 又设在 D 内 存在且连续 . 则隐函数 yxF ),( yxF ),( x = xfy )( 在区间 ) , ( 0 −α xx 0 +α 内可导 , 且
f(x)=-2(xy) Fr(x,y) 例1验证方程F(x,y)=y-x-siny=0在点(0,0)满足隐函数存在唯 性定理的条件,并求隐函数的导数 例2 函数 关"x2.其中y=f(x)为由方程x3+y3-3ay=0所确定的隐 dx 例3(反函数存在性及其导数)设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有连续的 导函数∫(x),且f(x0)=y,f(x0)≠0.用隐函数定理验证存在反函数,并 求反函数的导数 元隐函数 例4F(x,y,z)=xy23+x2+y3-二=0.验证在点(0,0,0)存在二是(x,y) 隐函数,并求偏导数 EvP214-215 §2隐函数组(2时) 隐函数组:从四个未知数两个方程的方程组 a, u+b,v+ x+d,y+e=0, a2u+b2v+C2x+day+e2=0 入手介绍隐函数组,一般形式为 ∫F(x,y,u2")=0 IG(x, y, u, v)=0 隐函数组定理 分析从上述线性方程组中解出u和v的条件入手,对方程组*在一定条件下拟 线性化,分析可解出u和v的条件,得出以下定理 Th1(隐函数组定理P212-213Th3、Th4 关于 Jacobi S3反函数组和坐标变换 1.反函数组存在定理: Ih2(反函数组定理) 2.坐标变换:两个重要的坐标变换 例2,3 Ex P224 231
),( ),( )( yxF yxF xf y x ′ −= . ( 证 ) 例 1 验证方程 0sin 2 1 ),( yxyyxF =−−= 在点 满足隐函数存在唯一 性定理的条件 , 并求隐函数的导数 . ) 0 , 0 ( 例 2 2 2 2 1 −= xyz . 其中 为由方程 所确定的隐 函数 . 求 = xfy )( 03 33 axyyx =−+ dx dz . 例 3 ( 反函数存在性及其导数 ) 设函数 = xfy )( 在点 的某邻域内有连续的 导函数 , 且 , . 用隐函数定理验证存在反函数 , 并 求反函数的导数. 0 x ′ xf )( 00 )( = yxf 0)(′ xf 0 ≠ 五. n元隐函数: 例 4 . 验证在点 存在 是 的隐函数 , 并求偏导数 . ),,( 0 323 zyxxyzzyxF =−++= ) 0 , 0 , 0 ( z yx ),( Ex P 214—215 §２ 隐函数组 ( 2 时 ) 一、隐函数组：从四个未知数两个方程的方程组 ⎩ ⎨ ⎧ =++++ =++++ . 0 , 0 22222 11111 eydxcvbua eydxcvbua 入手介绍隐函数组 ，一般形式为 * ) ⎩ ⎨ ⎧ = = . 0),,,( , 0),,,( vuyxG vuyxF 二、 隐函数组定理: 分析从上述线性方程组中解出 和 的条件入手 , 对方程组* 在一定条件下拟 线性化 , 分析可解出 和v 的条件 , 得出以下定理 . u v ) u Th 1 ( 隐函数组定理 )P212—213 Th 3、 Th 4. 关于 Jacobi . §3 反函数组和坐标变换: 1． 反函数组存在定理: Th 2 (反函数组定理 ) 2． 坐标变换: 两个重要的坐标变换. 例 2 , 3 231 Ex P 224
§4几何应用(1时) 平面曲线的切线与法线:设平面曲线方程为F(x,y)=0.有 切线方程为F2(x0,y0)(x-x0)+F,(x0,y0)(y-y0)=0 法线方程为F,(x0y0)(x-x0)-F(x0,y0)(y-y0)=0 例1求 Descartes叶形线2(x3+y3)-9xy=0在点(2,1)处的切线和法线 二、空间曲线的切线与法平面 1.曲线由参数式给出:L:x=x(1),y=y(),z==(1),a≤t≤B. 切线的方向数与方向余弦 切线方程为 y-yo y(0)=(t0) 法平面方程为x(0x-x0)+y(o0)(y-y0)+(t0(2-二0)=0 2.曲线由两面交线式给出:设曲线L的方程为 F(x,y,=)=0, G(x,y,)=0.点P0(xn,y,0)在L上推导切线公式 切线方程为 a(F,G O(F,GL a(F,G ay x) 法平面方程为 (:)14(x-)+FG (F.G) a(F,G) (y-y0)+ (二-二0)=0 a(x,y) 曲面的切平面与法线 设曲面∑的方程为F(x,y,)=0,点P(x0,y,0)在Σ上.推导切面公式 切平面方程为F2(Px-x0)+F,(Py-y0)+F((z-0)=0 法定义域线方程为 x-xo y-yo =-= F(Po F(PO) F (P) 232
§ 4 几何应用 ( 1 时 ) 一、平面曲线的切线与法线 : 设平面曲线方程为 yxF = 0),( . 有 y x F F ′ xf )( −= . 切线方程为 ),( 00 x yxF xx 0 )( +− ),( 00 y yxF 0)( − yy 0 = , 法线方程为 ),( 00 y yxF xx 0 )( −− ),( 00 x yxF 0)( − yy 0 = . 例 1 求 Descartes 叶形线 09)(2 在点 处的切线和法线 33 xyyx =−+ ) 1 , 2 ( 二、空间曲线的切线与法平面 : 1． 曲线由参数式给出 : = χ = = , )( , )( , )( : α ≤ ttzztyytxL ≤ β . 切线的方向数与方向余弦. 切线方程为 )()()( 0 0 0 0 0 0 tz zz ty yy t xx ′ − = ′ − = ′ − χ . 法平面方程为 0))(())(())(( χ′ 0 0 +− ′ 0 − 0 + ′ 0 − zztzyytyxxt 0 = . 2. 曲线由两面交线式给出 : 设曲线 L 的方程为 点 在 ⎩ ⎨ ⎧ = = . 0),,( , 0),,( zyxG zyxF ),,( 0000 zyxP L 上. 推导切线公式. 切线方程为 0 0 0 ),( ),( ),( ),( ),( ),( 0 0 0 P P P yx GF zz xz GF yy zy GF xx ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = ∂ ∂ − . 法平面方程为 0)( ),( ),( )( ),( ),( )( ),( ),( 0 0 0 0 0 0 =− ∂ ∂ +− ∂ ∂ +− ∂ ∂ zz yx GF yy xz GF xx zy GF P P P . 三、曲面的切平面与法线 : 设曲面Σ 的方程为 zyxF = 0),,( , 点 zyxP 0000 ),,( 在Σ 上. 推导切面公式. 切平面方程为 0))(())(())(( x 0 − 0 + y 0 − 0 + z 0 − zzPFyyPFxxPF 0 = . 法定义域线方程为 )()()( 0 0 0 0 0 0 PF zz PF yy PF xx x y z − = − = − . 232