Ch14偏导数和全微分 计划课时:16时 P144—185 2005.06.06. Ch14偏导数和全微分(16时) §1偏导数和全微分的概念 可微性与全微分 可徽性:由一元函数引入,o(√(△x)2+(4y)2)亦可写为aAx+y, (△x,Ay)→>(0,0)时(a,B)→>(0,0) 2.全微分: 例1考查函数f(x,y)=x在点(x,y)处的可微性 偏导数 1.偏导数的定义、记法: 2.偏导数的几何意义 3.求偏导数 例2,3,4.P143-144 例5f(x,y)=(x2+2x+3)sin(2y+1).求偏导数 例6f(x,y)=xlm(x+1)+√y2+1.求偏导数 例7f(x,y)= x+y 求偏导数,并求f2(2,-1) B]8 f(x,y)=xy+(x-2)In 求f,(2,y)和J,(2,1) 解J(2,y)=f(2,y)=(2y)=4y f(2,1)=f(2,y==4 例9f(x,y)={√x2+ ,证明函数∫(x,y)在点(0,0)连续,并求 0 0 f2(0,0)和f,(0,0)
Ch 14 偏导数和全微分 计划课时： 1 6 时 P 144 — 185 2005. 06. 06 . Ch 14 偏导数和全微分 ( 1 6 时 ) § 1 偏导数和全微分的概念 一、可微性与全微分： 1 ．可微性： 由一元函数引入 . ))()(( 2 2 ο Δ+Δ yx 亦可写为 αΔ + βΔyx , yx ) , ( →ΔΔ ) 0 , 0 ( 时 α β ) , ( → ) 0 , 0 ( . 2． 全微分: 例 1 考查函数 ),( = xyyxf 在点 处的可微性 ) , ( . 00 yx 二、偏导数: 1．偏导数的定义、记法: 2．偏导数的几何意义: 3．求偏导数: 例 2 , 3 , 4 . P143—144 . 例 5 yxf ),( = )12sin()32( . 求偏导数. 2 yxx +++ 例 6 yxf ),( = 1)1ln( 2 yxx +++ . 求偏导数. 例 7 yxf ),( = 22 yx yx + + . 求偏导数, 并求 − ) 1 , 2 ( x f . 例 8 yxf ),( = 12 23 ln)2( 22 22 2 ++ ++ −+ xy yx xxy . 求 和 yf ) , 2 ( . y ) 1 , 2 ( y f 解 yf ) , 2 ( = , y 4)2() , 2 ( yyyf 2 ′ = ′ = =) 1 , 2 ( y f 4) , 2 (′ yf y=1= . 例9 , 0 . 0 , , 0 ),( 22 22 22 23 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+ ≠+ + + = yx yx yx yx yxf ，证明函数 在点 连续 , 并求 和 . yxf ),( ) 0 , 0 ( ) 0 , 0 ( x f ) 0 , 0 ( y f
f(x,y) 0(pcos+sin20 (x,y)→(0,0) p→+0 limp(pcos3O+sin2O)=0=f(0,0).f(x,y)在点(0,0)连续 f2(0,0)=lim f(x,0)-f(0,0) f(0,0)=1m/(0,)-/(0.0)=m "yy)不存在 ErP153-1541-8 可微条件: 1.必要条件: Th1设(x,y)为函数∫(x,y)定义域的内点f(x,y)在点(x0,y)可微,→ fx(x0,y0)和f,(x0,y)存在,且 dl=d(x,y0)=f(x,y)△x+f(x,y)Ay.(证) 由于△x=a,Ay=d,微分记为 df(o, yo)=f(o, yo)dx+ f, (xo,yo)dy 定理1给出了计算可微函数全微分的方法 两个偏导数存在是可微的必要条件,但不充分 例10考查函数 y f(x,y) 在原点的可微性 2.充分条件: Th2若函数z=f(x,y)的偏导数在的某邻域内存在,且Jx和f在点(x0,y)处连续 则函数∫在点(x0,y)可微(证) Th3若f,(x,y)在点(x0,y)处连续,f(x,y)点(x0,y)存在,则函数∫在点 (x,y)可微 证f(x+Ax,y+△y)-f(x0,y0)= [f(x0+△x,yo+4y)-f(x+△x,y)+[f(xo+△x,y)-f(x0,%0) 215
证 = + =========== → == → ρ θθρρ ρ θρθρ )sincos( ),(lim lim 2 3 2 0 sin,cos )0,0(),( yx yx yxf = )0,0(0)sincos(lim 3 2 0 ==+ f → θθρρ ρ . yxf ),( 在点 连续 ) 0 , 0 ( . ) 0 , 0 ( x f = 0 || lim )0,0()0,( lim 3 0 0 = = − → → xx x x fxf x x , ) 0 , 0 ( y f || lim )0,0(),0( lim 2 0 0 yy y y fyf y→ y→ = − = 不存在 . Ex P153—154 1 — 8 . 三、可微条件: 1．必要条件: Th 1 设 为函数 定义域的内点 . 在点 可微, 和 存在 , 且 ) , ( 00 yx yxf ),( yxf ),( ) , ( 00 yx ⇒ ) , ( 00 yxf x ) , ( 00 yxf y ),( = 00 ),( = 00 df yxdf yx ) , ( 00 yxf x Δx + ) , ( 00 yxf y Δy . ( 证 ) 由于 , =Δ=Δ dyydxx , 微分记为 ),( = . 00 yxdf ) , ( 00 yxf x dx + ) , ( 00 yxf y dy 定理 1 给出了计算可微函数全微分的方法. 两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分. 例 10 考查函数 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+ ≠+ = + , 0 0 , , 0 ),( 22 22 22 yx yx yx xy yxf ， 在原点的可微性. 2．充分条件: Th 2 若函数 的偏导数在的某邻域内存在 , 且 和 在点 处连续. 则函数 在点 可微. ( 证 ) = yxfz ),( x f y f ) , ( 00 yx f ) , ( 00 yx Th 3 若 在点 处连续, 点 存在 , 则函数 在点 可微 . yxf ),( y ) , ( 00 yx yxf ),( x ) , ( 00 yx f ) , ( 00 yx 证 ) , ( −Δ+Δ+ fyyxxf 0 0 ) , ( 00 yx = [ ] [ ) , () , () , () , ( ] 0 0 0 0 0 0 00 +Δ+−Δ+Δ+= + Δ − yxfyxxfyxxfyyxxf 215
f(xo +Ax, yo +BAyAy+f(xo, yo )Ax+aAx 0<0<1, a>0 f(x0,y)+/小y+f(x0,y)△x+a△x=B→0 =f(ro, yo )Ax+f, ( ro, yo )Ay+aAx+ BAy 即∫在点(x,y)可微 要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 (x +y-)sin 0 例11f(x,y) 0 验证函数f(x,y)在点(0,0)可微,但f和厂,在点(0,0)处不连续 证f(xy)=+s(xy→0,0 因此f(x,y)=o(p),即f(x,y)-f(00)=0△x+0△y+o(p) ∫在点(0,0)可微,2(00)=0,f(0.0)=0.但(x,y)≠(0,0)时,有 f(x, y)=2xsin xcO 沿方向y=kx,1mx=im不存在,→沿方向y=k,极限 cos 不存在;又(x,y)→>(0,0)时,2x 因此,1im。Jx(x,y)不存在,fx在点(0,0)处不连续由∫关于x和y对称,f 也在点(0,0)处不连续 四、中值定理: Th4设函数∫在点(x,y)的某邻域内存在偏导数.若(x,y)属于该邻域,则存在 5=x0+61(x-x0)和n=y+62(y-y),0<61<1,0<62<1,使得 f(x,y)-f(x0,y0)=f1(5,yx-x)+f,(x0,7(y-y0) 例12设在区域D内fx=f,=0.证明在D内f(x)≡C 五、连续、偏导数存在及可微之间的关系: 六、可微性的几何意义与应用: 216
),() , ( 0 1,0 y 0 0 θ ΔΔ+Δ+= + x 00 Δ +αΔxxyxfyyyxxf < θ < α → = [ y 00 ),( β ] +Δ+ x 00 ),( αΔ+Δ xxyxfyyxf = β → 0 yxyyxfxyxf = x 00 +Δ y 00 ) , () , ( Δ α βΔ+Δ+ . 即 在点 可微 f ) , ( . 00 yx 要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 . 例 11 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+ ≠+ + + = , 0 . 0 , , 0 1 sin)( ),( 22 22 22 22 yx yx yx yx yxf 验证函数 在点 可微 yxf ),( ) 0 , 0 ( , 但 和 在点 处不连续. x f y f ) 0 , 0 ( 证 ).0 , 0(),( , 0 1 sin ),( 22 22 → → + += yx yx yx yxf ρ 因此 yxf = ο ρ)(),( , 即 − fyxf = Δ + Δyx + ο ρ)(00)0,0(),( , f 在点 可微 )0 , 0( , = = 0)0,0( , 0)0,0( x y f f . 但 yx ),( ≠ ) 0 , 0 ( 时, 有 22 22 22 1 cos 1 sin2),( yxyx x yx xyxf x + + − + = , 沿方向 = kxy , 0 22 0 2 1|| lim lim kx x yx x x x + = + → → 不存在 , ⇒ 沿方向 = kxy , 极 限 0 22 22 1 lim cos yxyx x x + + → 不存在 ; 又 yx ),( → ) 0 , 0 ( 时, 0 1 sin2 22 → + yx x , 因此, ),(lim 不存在 , 在点 处不连续. 由 关于 )0,0(),( yxf x yx → x f ) 0 , 0 ( f x 和 对称, 也在点 处不连续 . y y f ) 0 , 0 ( 四、 中值定理: Th 4 设函数 在点 的某邻域内存在偏导数 f yx 00 ) , ( . 若 yx ),( 属于该邻域 , 则存在 )(10 0 ξ θ −+= xxx 和 )( 20 0 η = +θ − yyy , 10 , 10 < θ1 < < θ 2 < , 使得 ))( , ())( , (),(),( 00 0 0 0 yyxfxxyfyxfyxf − = x ξ − + y η − . 例 12 设在区域 D 内 = ff yx = 0 . 证明在 D 内 )( ≡ cxf . 五、 连续、偏导数存在及可微之间的关系： 六、 可微性的几何意义与应用： 216
1.可微性的几何意义:切平面的定义 Th5曲面z=f(x,y)在点P(x,y,f(x,y)存在不平行于Z轴的切平面的充要条 件是函数f(x,y)在点P0(x0,y0)可微 2.切平面的求法:设函数∫(x,y)在点P(x0,y)可微,则曲面z=f(x,y)在点 P(x,yo,f(x0,y)处的切平面方程为(其中z0=f(x0,y0)) 2-0=f(x0,y0(x-x0)+J,(x0,y0)y-y) 法线方向数为±(f(x0,y),f(x,y),-1) 法线方程为 f(x0,y0)f,(x0,y0)-1 例13试求抛物面z=ax2+by2在点M(x0,y0,二0)处的切平面方程和法线方程 3.作近似计算和误差估计:与一元函数对照,原理 例14求1.0836的近似值 例15应用公式S=- absin c计算某三角形面积.现测得a=1250 b=830,C=30°.若测量a,b的误差为±0.01,C的误差为±0.1°.求用此公式计 算该三角形面积时的绝对误差限与相对误差限 §2复合函数微分法 简介二元复合函数:z=f(x,y),x=p(s,1),y=y(S,1) 以下列三种情况介绍复合线路图 ==f(, y),x=O(s, 0),y=y(s, 1); =f(x,y,),x=p(s,1),y=v(S,1),==n(s,1) =f(x,y,2),x=(s,t,=),y=v(s,t,=) 链导法则:以“外二内二”型复合函数为例 设函数x=p(s,1),y=v(s,1)在点(S,D)∈D可微,函数z=f(x,y)在点 (x,y)=((s,),y(s,1)可微,则复合函数z=f(o(s,1),v(s,1)在点(s,)可微,且 ax l(,y) as l(s dyl(x. as(sd)
1．可微性的几何意义： 切平面的定义. Th 5 曲面 = yxfz ),( 在点 00 yxfyxP 00 )) , ( , , ( 存在不平行于 Z 轴的切平面的充要条 件是函数 在点 可微 yxf ),( ),( . 000 yxP 2. 切平面的求法: 设函数 在点 yxf ),( yxP 000 ),( 可微 ，则曲面 = yxfz ),( 在点 00 yxfyxP 00 )) , ( , , ( 处的切平面方程为 （ 其中 ),( 0 00 = yxfz ） ))(,())(,( 0 00 0 00 0 yyyxfxxyxfzz =− x − + y − ， 法线方向数为 ( 1 , ),( , ),( ) ± x 00 y yxfyxf 00 − ， 法线方程为 1),(),( 0 00 0 00 0 − − = − = − zz yxf yy yxf xx x y . 例 13 试求抛物面 在点 处的切平面方程和法线方程。 22 += byaxz ),,( 000 zyxM 3. 作近似计算和误差估计: 与一元函数对照 , 原理 . 例 14 求 的近似值. 96.3 08.1 例 15 应用公式 sinCabS 2 1 = 计算某三角形面积 . 现测得 a = 50.12 , . 若测量 的误差为 D b = C = 30 , 30.8 , ba ± , 01.0 C 的误差为 . 求用此公式计 算该三角形面积时的绝对误差限与相对误差限. D ± 1.0 § 2 复合函数微分法 简介二元复合函数 : = = φ =ψ tsytsxyxfz ),( , ),( , ),( . 以下列三种情况介绍复合线路图: = = φ =ψ tsytsxyxfz ),( , ),( , ),( ; = zyxfu , ),,( = φ =ψ tsytsx ),( , ),( , = η tsz ),( ; = zyxfu , ),,( = φ =ψ ztsyztsx ),,( , ),,( . 一、链导法则: 以“外二内二”型复合函数为例. Th 设函数 = φ =ψ tsytsx ),( , ),( 在 点 ts ),( ∈ D 可 微 , 函 数 = yxfz ),( 在 点 yx ),( = (φ ψ tsts ),( , ),( )可微 , 则复合函数 = fz (φ ψ tsts ),( , ),( )在点 可微 ts ),( , 且 ts ),( tsyx ),(),( tsyx ),(),( s y y z s x x z s z ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ , 217
at l(s 0) ax 2 (x,y)a,(s/) 称这一公式为链导公式.该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加,沿线乘”(或 并联加,串联乘”)来概括。对所谓“外三内 外二内 外一内二”等 复合情况,用“并联加,串联乘”的原则可写出相应的链导公式.链导公式中内函数的可 微性可减弱为存在偏导数但对外函数的可微性假设不能减弱.对外m元 f(u1,u2,…,un),内n元lk=(x,x2,…,xn)(k=1,2,…,m),有 a-s a ouk i=1,2 外n元内一元的复合函数为一元函数.特称该复合函数的导数为全导数 例1二=ln(2+),u v=x2+y.求一和 Ox av 12E="-p2,u= x y,"= xsin y.求和na 例 例3=(x2+y)…,求江时 例4设函数f(u,v,w)可微.F(x,y,)=f(x,xy,xy2).求F2、F和F 例5用链导公式计算下列一元函数的导数 i>y=x ii>y= (1+x2)nx sin x+ cos x 例6设函数u=l(x,y)可微.在极坐标变换x=rcos6,y=rsin下,证明 au 例7设函数f(u)可微,z=y/(x2-y2).求证 二、复合函数的全微分:全微分和全微分形式不变性 例8==esin(x+y).利用全微分形式不变性求d,并由此导出一和 ExP160-1611-10 三、高阶偏导数 1.高阶偏导数的定义、记法:
ts ),( tsyx ),(),( tsyx ),(),( t y y z t x x z t z ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ . 称这一公式为链导公式 . 该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加 ，沿线乘”（ 或 “并联加 ，串联乘” ）来概括。对所谓“外三内二”、 “外二内三”、 “外一内二”等 复合情况，用“并联加 ，串联乘”的原则可写出相应的链导公式. 链导公式中内函数的可 微性可减弱为存在偏导数 . 但对外函数的可微性假设不能减弱 . 对 外 m 元 21 " uuuf m ),,,( , 内n 元 ),,,(ik 21 n = φ " xxxu k = " m) , , 2 , 1( , 有 ∑= ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ m k i k i k x u u f x f 1 ， i = " , , 2 , 1 n . 外n 元内一元的复合函数为一元函数 . 特称该复合函数的导数为全导数. 例 1 yxveuvuz . 求 yx =+= += 2 + 2 , )ln( , 2 x z ∂ ∂ 和 y z ∂ ∂ . 例 2 2 −= uvvuz 2 , = = sin , cos yxvyxu . 求 x z ∂ ∂ 和 y z ∂ ∂ . 例 3 ( ) , 求 )3( 2 2 2 yx yxz + += x z ∂ ∂ 和 y z ∂ ∂ . 例 4 设函数 可微 wvuf ),,( . = xyzxyxfzyxF ),,(),,( . 求 、 和 . Fx Fy Fz 例 5 用链导公式计算下列一元函数的导数 : ⅰ> ; ⅱ> x = xy xx xx y cossin ln)1( 2 + + = . 例6 设函数 = yxuu ),( 可微. 在极坐标变换 = θ = ryrx sin , cos θ 下 , 证明 2 2 2 2 2 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ y u x uu r r u θ . 例7 设函数 可微 uf )( , )( . 求证 22 −= yxyfz xz y z xy x z y = ∂ ∂ + ∂ 2 ∂ . 二、复合函数的全微分: 全微分和全微分形式不变性 . 例8 yxez )sin( . 利用全微分形式不变性求 , 并由此导出 xy += dz x z ∂ ∂ 和 y z ∂ ∂ . Ex P160—161 1—10. 三、高阶偏导数: 1． 高阶偏导数的定义、记法： 218