第四节 第二章 隐画数和参数方程求导 相关变化牵 一、 隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第四节 一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率 机动 目录 上页 下页 返回 结束 隐函数和参数方程求导 相关变化率 第二章
一、 隐函数的导数 若由方程F(x,y)=0可确定y是x的函数，则称此 函数为隐函数 由y=f(x)表示的函数，称为显函数 例如，x-y3-1=0可确定显函数y=1-x y+2y-x-3x7=0可确定y是x的函数 但此隐函数不能显化 隐函数求导方法：F(x,y)=0 两边对x求导 F(x,y)=0(含导数y的方程 dx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、隐函数的导数 若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 . 函数为隐函数 . 则称此 隐函数求导方法: 两边对 x 求导 (含导数 y 的方程) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求由方程y5+2y-x-3x?=0确定的隐函数 y=y(x)在x=0处的导数 dy dx x =0 解：方程两边对x求导 0+2y-x-3x)=0 dx 得 5y2dy+2y-1-21r=0 dx dx dy1+21x6 dx 5v4+2 因x=0时y=0,故 dy dxx=0 2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数 解: 方程两边对 x 求导 得 x y y d d 5 4 x y d d + 2 −1 6 − 21x = 0 5 2 1 21 d d 4 6 + + = y x x y 因 x = 0 时 y = 0 , 故 确定的隐函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2 例2.求椭圆 =1在点(2，多3)处的切线方程 169 解：椭圆方程两边对x求导 。yy'=0 8 V3 x=2 x=2 16yy33 4 故切线方程为 5-2》 即 W3x+4y-83=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 求椭圆 在点 处的切线方程. 解: 椭圆方程两边对 x 求导 8 x + y y 9 2 = 0 y 2 3 2 3 = = x y y x 16 9 = − 2 3 2 3 = = x y 4 3 = − 故切线方程为 3 2 3 y − 4 3 = − (x − 2) 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.求有方程x-y+。simy=0所确定的隐函数的 解：两边对x求导 1 +cos dy =O dx 2 dx 2 于是 dx 2-cosy 上式两边再对x求导 2 d"y -2sin y dy -4sin y x -2smy2-cosy】 dx? (2-cosy (2-cosy月 (2-cos y) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例3. 求有方程 所确定的隐函数的 解: 两边对 x 求导 1 dx dy − = 0 dx dy 2 cos y 2 − = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 dx dy cos y 2 1 + 于是 上式两边再对 x 求导 2 2 dx d y ( ) 2 2 cos 2sin y dx dy y − − = ( ) ( ) 2 2 cos 2 cos 2 2sin y y y − − − = ( ) 3 2 cos 4sin y y − − =