第三章微分中值定理与导数的应用 一、填空题： 、-m:在区0引内满足罗尔定的5a 2。函数心a+b在区同小上满足拉格衡日中值定理的5一专=少 子函数-2x和-ax1在区间Q上满足柯西定理的g-子一 4、在区间[a,b]内，若∫'(x)=g'(x),则x)-gx)=常数： 6、曲线f(x)-arctanx-x在区间(-o,+oo)上单调_减 入篮e超(99-线路 8、曲线y=1-2的拐点坐标是(2，) 9、∫"(x)=0是函数y=∫(x)在点x=x处取得极值的必要_条件： 10、函数y=x在区间[0.L,小内的极小值为_e一： 小高政了e一am在区同0内的最大值点是至 12、函数y=心-x的最小值是_1 1以、函数)中子的图形有水平新近线-=1一 14、函数)=4x+的图形有铅直渐近线x=一0一 15、曲线y=4x-x2在点(2,4)处的曲率k=2 二、单选题： 1、下列函数在区间[-1，内满足罗尔定理条件的是(B)； A州B41cy-x。r- 2、函数y=x1-x)在区间[0，上满足罗尔定理的5=(C)片 A.0 c D.1 3、下列函数在区间[l,]内满足拉格朗日定理条件的是(c):
第三章 微分中值定理与导数的应用 一、填空题： 1、函数 f(x)=x − sin 2 x 在区间 0, 2 内满足罗尔定理的 = 2 arccos 2、函数 f(x)= x2 - a x+ b 在区间 a b, 上满足拉格朗日中值定理的 =_ +b 2 a = _; 3、函数 f(x)=x3 − x 2 − 2x 和 F(x)=2x+1 在区间 0,1 上满足柯西定理的 =_ 2 3 _; 4、在区间 a b, 内，若 f x g x ( ) ( ) = ，则 f(x) − g(x)=_常数_; 5、 2 lim x → cos3 cos x x =_-3_; 6、曲线 f (x)=arctanx − x 在区间 (− + , ) 上单调_减_; 7、曲线 y= 2 x e − 在区间_ 2 2 , 2 2 − _上是凸的； 8、曲线 y=1 − 3 x − 2 的拐点坐标是_ (2,1) _; 9、 0 f x ( ) 0 = 是函数 y f x = ( ) 在点 0 x x = 处取得极值的_必要_条件； 10 、函数 x y x = 在区间 0.1,1 内的极小值为_ 1 e e − − _； 11、函数 f (x)=x+2cosx 在区间 0, 2 内的最大值点是 x= 3 _; 12、函数 y=ex − x 的最小值是_1_; 13、函数 y=1+ 2 1 x + x 的图形有水平渐近线_ y = 1 _; 14、函数 y= 2 1 4x x + 的图形有铅直渐近线 x =_0_; 15、曲线 y=4x − x 2 在点 (2,4) 处的曲率 k=_2_; 二、单选题： 1、下列函数在区间 −1,1 内满足罗尔定理条件的是（ B ）; A . y=1+ x B. y= 2 x +1 C. y= 1 x − x D. y= x − 1 2、函数 y=x(1 − x)在区间 0,1 上满足罗尔定理的 =（ C ）； A. 0 B. 1 3 C. 1 2 D. 1 3、下列函数在区间 1,e 内满足拉格朗日定理条件的是（ c ）;
A.yln(inx)B.y-in(2-x)C.y-lnx D.inx 1 4、若函数y=f(x)在区间[a,b上满足拉格朗日定理的条件，则至少存在一个5∈(a,b) 使∫(5)=(D): A.o B.()f(a)c.)()D.()-f(a) 2 b-a 极限-（人： A.1 B.0 C.-1 D.不存在 6、方程e-x-1=0(C): A有三个不同实根B.有两个不同实根C.只有一个实根 D.没有实根 1函数)京（D为 A.在(-0，+∞)上单调减少 B.在(-0，+∞)上单调增加 C.在(-1，)内单调减少 D.在(-1,1)内单调增加 8、函数y=xlnx在区间(A)内单调减少： )&( c.(L,e）D.(e,+o） 9、曲线y=3x2-x3在(B): A（-0,)内是凸的，在(（L,+∞)内是凹的 B.(（-∞，)内是四的，在(L+∞)内是凸的 C.(-0,0)内是凸的，在(0，+)内是凹的 D.（-0,0)内是凹的，在(0，+∞）内是凸的 10、若函数fx)在区间(a,b)内有f'(x)<0,∫(x)>0,则f(x)在该区间内(B): A单调增加，曲线是凹的B.单调减少，曲线是凹的 C,单调增加，曲线是凸的C.单调减少，曲线是凸的 A) 、曲线y+ A.无拐点 B.有一个拐点 C.有两个拐点D.有三个拐点 12、x为f(x)在[a,b]上的一点，且f(x)=0,则点x是(C: A零点 B.极值点 C.驻点 D.拐点
A. y=ln(lnx) B. y=ln(2 − x) C. y=lnx D. y= 1 ln x 4、若函数 y= f (x)在区间 a b, 上满足拉格朗日定理的条件，则至少存在一个 (a b, )， 使 f ( )=( D ); A. 0 B. ( ) ( ) 2 f b f a − C. f (b)- f (a) D. f b f a ( ) ( ) b a − − 5、极限 sin lim x sin x x → x x − + =( A ); A. 1 B. 0 C. -1 D. 不存在 6、方程 1 x e x − − =0( C ); A. 有三个不同实根 B. 有两个不同实根 C. 只有一个实根 D. 没有实根 7、函数 2 ( ) 1 x f x x = + （ D ）； A. 在 (− + , ) 上单调减少 B. 在 (− + , ) 上单调增加 C. 在 (−1,1) 内单调减少 D. 在 (−1,1) 内单调增加 8、函数 y=xlnx 在区间( A )内单调减少； A. 1 0, e B. 1 ,1 e C. (1,e ) D. (e,+ ) 9、曲线 2 3 y x x = − 3 在（ B ）； A. (−,1) 内是凸的，在 (1,+) 内是凹的 B. (−,1) 内是凹的，在 (1,+) 内是凸的 C. (−,0) 内是凸的，在 (0,+) 内是凹的 D. (−,0) 内是凹的，在 (0,+) 内是凸的 10、若函数 f x( ) 在区间 (a b, ) 内有 f x ( ) 0 ， f x ( ) 0 ，则 f x( ) 在该区间内（ B ）； A. 单调增加，曲线是凹的 B. 单调减少，曲线是凹的 C. 单调增加，曲线是凸的 C. 单调减少，曲线是凸的 11、曲线 1 x e y x = + （ A ）； A. 无拐点 B. 有一个拐点 C. 有两个拐点 D. 有三个拐点 12、 0 x 为 f x( ) 在 a b, 上的一点，且 0 f x ( ) 0 = ，则点 0 x 是（ C ）； A. 零点 B. 极值点 C. 驻点 D. 拐点
15、函数y=的图形(D为 A只有水平渐近线，而无铅直渐近线 日只有铅直渐近线。 而无水平渐近线 C.既无水平渐近线，也无铅直渐近线 D.既有水平渐近线，也有铅直渐近线 三、计算题： 1、用洛必达法则求下列极限 a0- (3im sin x-sindco e2-1_2 x-a (4)i tan3x (6)m子=+树 (w-0a受-子 (名)- ▣1 (10)lim(sinx)=1: 2、求下列函数的单调区间： (1)y=x2-3x2-9r+14增：(0-3，+0，减-1,3 2)y=x+40x>0 增(0-2][2，+∞)，减[-2,0)(0,2 3、求下列函数图形的凹凸区间及拐点： (1)y=x23-6x2+x-1凸(0,2]，凹[2，+∞)，拐点(2，-15) 2)y=x+ 凸(o,l),凹(1，+o),无拐点 x-1 4、求下列函数的极值点和极值： Dy=(-极小点=山，=0：极大点=0，大=1： (2)y=x+-x 极大点-子子 5、描绘下列函数的图形 (1)y=x3-3x2+3; 2)y=x- 2r-1 6、求下列函数在指定区间上的最大值和最小值： (1)fx)=x-2x2+5[-2,2]f(2)=13,f最（±）=4，f0)=5 (2)f(x)=x-2[0,4∫最大(0)=0，f大(4)=0，/最(0=-1
13、函数 2 1 x y x = − 的图形（ D ）； A. 只有水平渐近线，而无铅直渐近线 B. 只有铅直渐近线，而无水平渐近线 C. 既无水平渐近线，也无铅直渐近线 D. 既有水平渐近线，也有铅直渐近线 三、计算题： 1、用洛必达法则求下列极限: （1） 0 ln(1 ) 1 lim x sin 2 2 x → x + = ； （2） 3 0 sin 1 lim x 6 x x → x − = ； （3） sin sin lim cos x a x a a → x a − = − ； （4） 2 0 1 2 lim tan 3 3 x x e → x − = ； （5） 0 ln cot lim 1 x ln x x → + = − ； （6） lim x n x e →+ x = + （7） 1 2 lim(1 ) tan x 2 x x → − = ； （8 2 1 2 1 1 lim x→ x x 1 1 2 − = − − − ； （9） 2 1 ln 1 2 1 lim 1 lim 1 x x x x x e x − → → − = = ； （10） 0 lim(sin ) 1 x x x → + = ； 2、求下列函数的单调区间： （1） ( ) 3 2 y x x x = − − + 3 9 14 - -1 3 + -1 3 增： ， ， ，减： ， ; （2） ( ) )( 4 y x x ,( 0) - -2 2 + 0,2 x = + 增 ， ， ，减：-2,0 ; 3、求下列函数图形的凹凸区间及拐点： （1） ( ) ( ) 3 2 y x x x = − + − − 6 1 - 2 2 + 2, 15 凸 ，凹 ， ，拐点 ; （2） (- 1 1 + ) ( ) 1 x y x x = + − 凸 ，凹 ， ，无拐点 ; 4、求下列函数的极值点和极值： （1） ( ) 3 2 y x x y x y = − = = 1 1, =0 0 =-1 极小点 极小 ；极大点 ， 极大 ; （2） 3 5 1 = 4 4 y x x x y = + − = 极大点 ， 极大 ; 5、描绘下列函数的图形 （1） 3 2 y x x = − + 3 3 ; （2） ( ) 2 2 1 1 x y x − = − ; 6、求下列函数在指定区间上的最大值和最小值： （1） 4 2 f x x x f f f ( ) 2 5, 2,2 ( 2) 13 ( 1) 4 (0) 5 = − + − = = = 最大 ， 最小 ， ; （2） f x x x f f f ( ) 2 , 0,4 (0) 0 (4) 0 (1) -1 = − = = = 最大 ， 最大 ， 最小 ;
四、应用题： 康州导-1中肉形大时物长有。a 2、正方形纸板边长为2，在其四角各剪去一个相等的小正方形，做一个无盖的纸盒，问剪 去的小正方形边长为多少时，纸盒的容积最大？ 解：V=x(2a-2x,P'=4(a-x)(a-3x)当V'=0时，x=:,x=a(舍) 故小正方形的边长x=:时，纸盒容积最大。 五、证明题： 1、证明方程x-sinx=0只有一个实根 (利用单调性证明) 2、若函数fx)在区间(-o,+∞)内有f"(x)=fx),且f0)=1,试证明f(x)=e 做辅助函数p(x)=ef(x),则p'(x)=e(f'(x)-f(x)=0 所以：p(x)=ef(x)=c,即f(x)=ce,又因f(0)=1,所以c=l,即证 3入当0时，明本<h+x 用拉格朗日中值定理证明3、4题 4、设0<a<b,n>1,证明nd-(b-a)<b”-a<nb-(b-a) 5、当x>1时，证明e2>ex.(可用单调性) 6、设函数f(x)在区间[0，]上连续，在(0,1)可导，且f(1)=0,证明： 1、存在5e(0,1),使2f(5)+5f'(5)=0成立： 2、存在7e(0,1),使2f)+4切f'()+7f"()=0成立。 证明：1、设辅助函数p(x)=x2f(x),它在[0，满足罗尔定理的条件， 因此至少存在5e(0,1),使得0'(5)=25f()+2f"(5)=0, 即2f(5)+5f'(5)=0 2、设辅助函数p(x)=2yf(x)+x2f'(x),它在[0,1]上连续，它在(0，)上可导， 且p(0)=0=p(5) 因此至少存在n∈(0，)c(0,),使得p"()=2f()+4nf"()+7"()=0
四、应用题： 1、求椭圆 2 2 2 2 1 x y a b + = 中内接矩形面积最大时的长和宽。 2 , 2 a b 2、正方形纸板边长为 2a ，在其四角各剪去一个相等的小正方形，做一个无盖的纸盒，问剪 去的小正方形边长为多少时，纸盒的容积最大？ ( ) ( )( ) ( ) 2 V 2 2 , 4 3 0 , 3 3 a x a x V a x a x V x x a a x = − = − − = = = = 解： 当 时， 舍去 故小正方形的边长 时，纸盒容积最大。 五、证明题： 1、证明方程 x x − = sin 0 只有一个实根. （利用单调性证明） 2、若函数 f x( ) 在区间 (− + , ) 内有 f x f x ( ) ( ) = ，且 f (0) 1 = ，试证明 ( ) x f x e = . 做辅助函数 ( ) ( ), 0 ( ) ( ( ) ( )) x x x e f x x e f x f x − − = = − = 则 所以： ( ) ( ) , , ( ) x x x e f x c f x ce − = = = 即 又因 f (0) 1 = ，所以 c =1 ，即证 3、当 x 0 时，证明 ln(1 ) 1 x x x x + + . 用拉格朗日中值定理证明 3、4 题 4、设 0 , 1, a b n 证明 1 1 ( ) ( ) n n n n na b a b a nb b a − − − − − . 5、当 x 1 时，证明 x e ex .（可用单调性） 6、设函数 f x( ) 在区间 0,1 上连续，在 (0,1) 可导，且 f (1 0, ) = 证明： 1、存在 (0,1) ，使 2 ( ) ( ) 0 f f + = 成立； 2、存在 (0,1) ，使 2 2 ( ) 4 ( ) ( ) 0 f f f + + = 成立。 证明：1、设辅助函数 ( ) 2 x x f x = ( ) ，它在 0,1 满足罗尔定理的条件， 因此至少存在 (0,1) ，使得 2 ( ) 2 ( ) ( ) 0 = + = f f ， 即 2 ( ) ( ) 0 f f + = 2、设辅助函数 ( ) 2 x xf x x f x = + 2 ( ) ( ) ，它在 0, 上连续，它在 (0, ) 上可导， 且 (0 0 ) = = ( ) ， 因此至少存在 (0, ) 0,1 ( ) ，使得 2 ( ) 2 ( ) 4 ( ) ( ) 0 = + + = f f f