第三章微分中值定理与导数的应用 一、填空题： 、函数=水经nx在区同[写引内满足罗尔定理的5 2、函数f(x)=x2-amr+b在区间[a,b]上满足拉格朗日中值定理的5= 3、函数fx)=x3.x2-2x和F(x)=2x+1在区间[0,1上满足柯西定理的5= 4、在区间[a,b]内，若∫(x)=g'(x),则f(x)-g(x)= 6、曲线f(x)=arctanx-x在区间(-o,+oo)上单调_ 7、曲线y=e在区间上是凸的： 8、曲线y=1-2的拐点坐标是 9、f"(x)=0是函数y=f(x)在点x=x处取得极值的一条件： 10、函数y=x在区间0.l,内的极小值为： 小、函数)=x+2csx在区同0引内的最大值点是x一 12、函数y=e-x的最小值是 1以、)=1的形省水平有近线一 14、函数)y=4+的图形有铅直渐近线x=一 15、曲线y=4x-x2在点(2,4)处的曲率k= 二、单选题： 1、下列函数在区间[-1，内满足罗尔定理条件的是()； A.y=1+ 2、函数y=x1-x)在区间[0，】上满足罗尔定理的5=()片 A.0 c D.1 3、下列函数在区间[l,内满足拉格朗日定理条件的是()；
第三章 微分中值定理与导数的应用 一、填空题： 1、函数 ( ) sin - 2 f x x x = 在区间 0, 2 内满足罗尔定理的 = 2、函数 2 f x x ax b ( ) = − + 在区间 a b, 上满足拉格朗日中值定理的 =_; 3、函数 3 2 f x x x x ( ) - - 2 = 和 F x x ( ) 2 1 = + 在区间 0,1 上满足柯西定理的 =_; 4、在区间 a b, 内，若 f x g x ( ) ( ) = ，则 f x g x ( ) ( ) − =_ _; 5、 2 cos3 lim x cos x x → =_; 6、曲线 f x x x ( ) arctan = − 在区间 (− + , ) 上单调_ _; 7、曲线 2 x y e − = 在区间_上是凸的； 8、曲线 3 y x = − − 1 2 的拐点坐标是_; 9、 0 f x ( ) 0 = 是函数 y f x = ( ) 在点 0 x x = 处取得极值的_ _条件； 10 、函数 x y x = 在区间 0.1,1 内的极小值为_； 11、函数 f x x x ( ) 2cos = + 在区间 0, 2 内的最大值点是 x=_; 12、函数 x y e x = − 的最小值是_; 13、函数 2 1 1 x y x = + + 的图形有水平渐近线_; 14、函数 2 1 y x 4 x = + 的图形有铅直渐近线 x =_; 15、曲线 2 y x x = − 4 在点 (2,4) 处的曲率 k=_; 二、单选题： 1、下列函数在区间 −1,1 内满足罗尔定理条件的是（）; A . y x = +1 B. y= 2 x +1 C. 1 y x x = − D. y x = −1 2、函数 y=x(1 − x)在区间 0,1 上满足罗尔定理的 =（ ）； A. 0 B. 1 3 C. 1 2 D. 1 3、下列函数在区间 1,e 内满足拉格朗日定理条件的是（ ）;
D.y=inx 1 A.y=In(Inx)B.y=In(2-x)C.y=Inx 4、若函数y=f(x)在区间[a,b]上满足拉格朗日定理的条件，则至少存在一个E∈(a,b), 使∫(5)=()： A.0 B.f(b)-f(a) 2 c.1(b)-s (a)D.1(b)=f(a) b-a 极限(： A.1 B.0 C.-1 D.不存在 6、方程e-x-1=0(): A.有三个不同实根 B.有两个不同实根C.只有一个实根D.没有实根 A.在(-0，+∞)上单调减少 B.在(-0，+∞)上单调增加 C.在(-1，)内单调减少 D.在(-1,1)内单调增加 8、函数y=xlnx在区间()内单调减少： ()&( c.(L,e）D.(e,+o） 9、曲线y=3x2-x2在( A（-0,)内是凸的，在(L,+∞)内是凹的 B.(（-∞，)内是四的，在(L+∞)内是凸的 C.(-0,0)内是凸的，在(0，+)内是凹的 D.（-0,0)内是凹的，在(0，+∞）内是凸的 10、若函数fx)在区间(a,b)内有f'(x)<0,∫(x)>0,则fx)在该区间内()： A单调增加，曲线是凹的B.单调减少，曲线是凹的 C,单调增加，曲线是凸的C.单调减少，曲线是凸的 、曲线y+ A.无拐点 B.有一个拐点 C.有两个拐点D.有三个拐点 12、x为f(x)在[a,b]上的一点，且f(x)=0,则点x是(C: A零点 B.极值点 C.驻点 D.拐点
A. y x = ln(ln ) B. y x = − ln(2 ) C. y x = ln D. 1 ln y x = 4、若函数 y= f (x)在区间 a b, 上满足拉格朗日定理的条件，则至少存在一个 (a b, )， 使 f ( )=( ); A. 0 B. ( ) ( ) 2 f b f a − C. f b f a ( ) ( ) − D. f b f a ( ) ( ) b a − − 5、极限 sin lim x sin x x → x x − + =( ); A. 1 B. 0 C. -1 D. 不存在 6、方程 1 x e x − − =0( ); A. 有三个不同实根 B. 有两个不同实根 C. 只有一个实根 D. 没有实根 7、函数 2 ( ) 1 x f x x = + （ ）； A. 在 (− + , ) 上单调减少 B. 在 (− + , ) 上单调增加 C. 在 (−1,1) 内单调减少 D. 在 (−1,1) 内单调增加 8、函数 y=xlnx 在区间( )内单调减少； A. 1 0, e B. 1 ,1 e C. (1,e ) D. (e,+ ) 9、曲线 2 3 y x x = − 3 在（ ）； A. (−,1) 内是凸的，在 (1,+) 内是凹的 B. (−,1) 内是凹的，在 (1,+) 内是凸的 C. (−,0) 内是凸的，在 (0,+) 内是凹的 D. (−,0) 内是凹的，在 (0,+) 内是凸的 10、若函数 f x( ) 在区间 (a b, ) 内有 f x ( ) 0 ， f x ( ) 0 ，则 f x( ) 在该区间内（ ）； A. 单调增加，曲线是凹的 B. 单调减少，曲线是凹的 C. 单调增加，曲线是凸的 C. 单调减少，曲线是凸的 11、曲线 1 x e y x = + （ ）； A. 无拐点 B. 有一个拐点 C. 有两个拐点 D. 有三个拐点 12、 0 x 为 f x( ) 在 a b, 上的一点，且 0 f x ( ) 0 = ，则点 0 x 是（ C ）； A. 零点 B. 极值点 C. 驻点 D. 拐点
15、函数y=产的图形（ A只有水平渐近线，而无铅直渐近线 B只有铅直渐近线，而无水平渐近线 C.既无水平渐近线，也无铅直渐近线 D.既有水平渐近线，也有铅直渐近线 三、计算题： 1、用洛必达法则求下列极限： 090 (2) (3)linsinx-sina x-a w高 9g腰 6= mm-am受 8-(2) o (10)lim(sinx): 2、求下列函数的单调区间： (1)y=x3-3x2-9x+14 2)y=x+x>0): 3、求下列函数图形的凹凸区间及拐点： (1)y=x3-6x2+x-1日 (2)y=x+ 4、求下列函数的极值点和极值： (1)y=(x2-) (2)y=x+-x; (3)y=x-n(1+x) 5、描绘下列函数的图形 (1)y=x3-3x2+3 2y-可 2x-1 6、求下列函数在指定区间上的最大值和最小值：
13、函数 2 1 x y x = − 的图形（ ）； A. 只有水平渐近线，而无铅直渐近线 B. 只有铅直渐近线，而无水平渐近线 C. 既无水平渐近线，也无铅直渐近线 D. 既有水平渐近线，也有铅直渐近线 三、计算题： 1、用洛必达法则求下列极限: （1） 0 ln(1 ) lim x sin 2 x → x + ； （2） 3 0 sin lim x x x → x − ； （3） sin sin lim x a x a → x a − − ； （4） 2 0 1 lim tan 3 x x e → x − ； （5） 0 ln cot lim x ln x x → + ； （6） lim x n x e →+ x （7） 1 lim(1 ) tan x 2 x x → − ； （8 2 1 2 1 lim x→ x x 1 1 − − − ； （9） 2 1 lim 1 x x→ x − ； （10） 0 lim(sin )x x x → + ； 2、求下列函数的单调区间： （1） 3 2 y x x x = − − + 3 9 14 ; （2） 4 y x x ,( 0) x = + ; 3、求下列函数图形的凹凸区间及拐点： （1） 3 2 y x x x = − + − 6 1 ; （2） 1 x y x x = + − ; 4、求下列函数的极值点和极值： （1） ( ) 3 2 y x = −1 ; （2） y x x = + −1 ; （3） y x x = − + ln 1( ). 5、描绘下列函数的图形 （1） 3 2 y x x = − + 3 3 ; （2） ( ) 2 2 1 1 x y x − = − ; 6、求下列函数在指定区间上的最大值和最小值：
(1)fx)=x-2x2+5,[-2,2 (2)fx)=x-2F,[0,4 四、应用题： 小、求精因后+卡=1中内接知形面积级大时的长和宽。 2、正方形纸板边长为2，在其四角各剪去一个相等的小正方形，做一个无盖的纸盒，问剪 去的小正方形边长为多少时，纸盒的容积最大？ 五、证明题： 1、证明方程x-sinx=0只有一个实根. 2、若函数fx)在区间(-o,+)内有f"(x)-f(x),且f(0)=1,试证明f(x)=e 3、当>0时.E明本<+功kx 4、设0<a<b,n>1,证明na-(b-a）)<b-a”<nb-(b-a) 5、当x>1时，证明e>ex。 6、设函数f(x)在区间[0，]上连续，在(0,1)可导，且f(1)=0,证明： 1、存在5∈(0,1)，使2f(5)+5f'(5)=0成立： 2、存在ne(0,),使2f()+4切f'()+72"()=0成立
（1） 4 2 f x x x ( ) 2 5, 2,2 = − + − ; （2） f x x x ( ) 2 , 0,4 = − ; 四、应用题： 1、求椭圆 2 2 2 2 1 x y a b + = 中内接矩形面积最大时的长和宽。 2、正方形纸板边长为 2a ，在其四角各剪去一个相等的小正方形，做一个无盖的纸盒，问剪 去的小正方形边长为多少时，纸盒的容积最大？ 五、证明题： 1、证明方程 x x − = sin 0 只有一个实根. 2、若函数 f x( ) 在区间 (− + , ) 内有 f x f x ( ) ( ) = ，且 f (0) 1 = ，试证明 ( ) x f x e = . 3、当 x 0 时，证明 ln(1 ) 1 x x x x + + . 4、设 0 , 1, a b n 证明 1 1 ( ) ( ) n n n n na b a b a nb b a − − − − − . 5、当 x 1 时，证明 x e ex . 6、设函数 f x( ) 在区间 0,1 上连续，在 (0,1) 可导，且 f (1 0, ) = 证明： 1、存在 (0,1) ，使 2 ( ) ( ) 0 f f + = 成立； 2、存在 (0,1) ，使 2 2 ( ) 4 ( ) ( ) 0 f f f + + = 成立