费马引理的证明 证明：不妨设xeUx,)时，f(x)sfx.),于是，对于x,+△xeU0x,), 有 fx+△x)≤f(xo), 从而当Ax>0时，f+Axfx,)0 △x 当Ar<0时，f+Axf0. △x 根据函数f)在x,可导的条件及极限的保号性，便得到 f'(x)）=f(xo)）=lim f(xo+Ax)-/(xo)s0. 130 △x f)=f)=1imf+a0-f≥0 △r0 △x 所以 f'(x)=0
有 ( ) ( ) 0 0 f x x f x ， 根据函数 f x( )在 0 x 可导的条件及极限的保号性，便得到 证 明： 不妨设 0 x U x ( )时， ( ) ( ) 0 f x f x ，于是，对于 ( ) 0 0 x xU x ， 从而当 x 0时， 0 ( ) ( ) 0 0 x f x x f x 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 x f x x f x f x f x x ， 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 x f x x f x f x f x x 当x0时， 0 ( ) ( ) 0 0 x f x x f x . 所以 f (x0 )0 . 费马引理的证明
一、罗尔定理 (1)在闭区间上连续（2)在开区间内可导(3)端点纵坐标相等 的函数的图形上至少有一点处的切线是水平的. f(a)=f(b) 有水平的切线 y=f(x) 斜率='(5)=0 0 a b 斜率k=f'(5)=0
x y O 2 1 a b y f (x) A B f (a) f (b) 有水平的切线 斜率k f ( 1 ) 0 （1）在闭区间上连续（2）在开区间内可导（3）端点纵坐标相等 的函数的图形上至少有一点处的切线是水平的. 一、罗尔定理 2 斜率k f ( ) 0
一、罗尔定理 2、罗尔定理 如果函数f(x满足 y=f(x) f(a)=f(b) (1)在闭区间[a,b上连续； (2)在开区间(a,b)内可导； (3)f(a)=f(b), 那么在a,b)内至少有一点5，使得 f'(5)=0
如果函数 f x( )满足 （1）在闭区间[ , ] a b 上连续； （2）在开区间( , ) a b 内可导； （3） f a f b ( ) ( ) ， 那么在( , ) a b 内至少有一点 ，使得. x y O A B y f (x) f (a) f (b) a b 1 2 f ()0 一、罗尔定理 2、罗尔定理
罗尔定理的证明 分析： f(x)在[a,b]连续 0 f(x)在[a,b]上必取得它的最大值M和最小值m y M四 f(a)=f(b) M=m y M,m不能同时取在端点 fx)=是常函数 y Mm至少有一个取在(a,b)内 f'(x)=0 Q 设M取在(a,b)内部 y 至少存作一5sa6,使得③白 费马定理可得
分析 罗尔定理的证明 f x( )在[ , ] a b 连续 f x( )在[ , ] a b 上必取得它的最大值 M 和最小值 m M m M m f x C ( ) 是常函数 f x ( ) 0 M,m 不能同时取在端点 f a f b ( ) ( ) M,m 至少有一个取在( , ) a b 内 设M 取在( , ) a b 内部 ( , ), ( ) 0 a b f 费马定理可得 至少存在一 使得
罗尔定理的证明 证明：由已知条件知f(x)在闭区间[a,b]上必取得它的最大值M和最小值m (1)如果M=m,f)是常函数，则f(x)=0定理的结论显然成立. (2)如果M≠m,fx)不是常函数.由于fa=fb),因此fx)在闭区间[a,1上 最值不能同时取在端点.不妨M≠f(a).则M≠f(b)所以在(a,b)内至少存在一点 所以在(a,b)内至少存在一点5使f(5)=M.因此存在5的某一邻域，使f(x)≤f(5). 由费马引理可得 f'(5)=0
证明 由已知条件知 f x( )在闭区间[ , ] a b 上必取得它的最大值M 和最小值m （1）如果 M m ， f x( )是常函数 则 f x ( ) 0 定理的结论显然成立 （2）如果M m ， f x( )不是常函数.由于 f a f b ( ) ( ) ，因此 f x( ) 在闭区间[ , ] a b 上 最值不能同时取在端点. 不妨M f a ( ) 则M f b ( ) .所以在( , ) a b 内至少存在一点 由费马引理可得 所以在( , ) a b 内至少存在一点 使 f M ( ) . 因此存在 的某一邻域，使 f x f ( ) ( ). 罗尔定理的证明 f ( ) 0