2.1数列极限以及求极限的方法·25.（2）如果存在an→a（n-0），那么就有a=2+1/a，从而知a=1十/2.于是令a,=1+/2+h，只需指出h,-→0(n-0).实际上，易知h1=h(1-/2)/(1+/2+hm),Ih|<1,[hn+/≤/hm//(1—/2)//2/≤|hm|/2</hm-—//22<</h1//2"注意到h,=1一/2，h，/<1/2，可得|h|<1/2".证毕例2.1.3试证明下列极限式：(2) lim+/n +n =1.(1) lim/n =1.证明月（1）注意到n>1时，有>1.因此，令h,=n-1>0(n>1).从而当n>1时,有n=(1+h.)"≥h, +(n_1h>n(n_1)h,2220<-1=h<n>1.n-i,由此知，对任给e>0,取N=2，就得知当n>N时，有1+2[-1=-1<11(2）令2+/n+n=1+hm，则h>0且有n +n = (1 + h.)2+1 >(2n +1)n=(2n+1)2n(2n -1)hg.6由此知6n(n+1)3h号 < 2n(2nm-1)(2n +1)从而对任给>0,取N=[3/e]+1，就有h</e（n>N)注1若a>0且an→a>0(n0),则limVa.=1.注2若lima,=a>0,则lima,-a例2.1.4若lim（2a,十a,-）=0，则lima,=0证明对任给e>0，存在N，使得当n≥N时有12a,+an-1/<e或lan/lan-11/2+e/2从而得[a.l<(14gl+号)/2+号=号++2-1aal21022
·26·第2章极限论号++++lay(n>N).2mN-N222由此知|a,l<e+|an|/2"-N（n>N).易知存在N,>N，使得|a|/2"-N<e(n>N.）.最后我们有la，/<2e（n>N）.即得所证.（二）简化通项形式在许多关于数列极限的判定命题里，其困难往往在于数列给定方式的多样化.因此，化简或转换数列的给定形式，特别是求出通项的解析表达式，将给解题带来极大方便.实际上，在一般的命题中，这也是应当首先考虑的策略.至于简化或转换的手段.主要的有：变量替换法、公式法、裂项消去法、有理化法等.特别是递推数列，大家应记住它的各种典型的最简形式。例2.1.5将下列数列表达式转型：(1)an+2=Aaut1+Ba.(A2+4B≥0,n=1,2,...).Aan+B(C+0,BC-AD+0,n=1,2,.).(2) an+1=Can+D(3)an+1=Aa,+Ba,+C(A0,n=1,2,...).解（1）解特征方程>2一A>—B=0的根α=A-VA+4BB=A+VA+4B22从而可化递推式为an+2=（α+β)aa+1—αpa（n=1,2，）.再作变量替换b,—an+1-Ban，可得bn+1 = cbn(n = 1,2,...),（2）改写原递推式为BC-ADCan+1 + D=+(A+D)(n= 1,2,*.).Ca.+D并作替换b,=Ca,+D.又令α=BC-AD，β=A+D，则原递推式可改成α+βb+=(n= 1,2,...),6.（3）将原递推式改写为BB2+C-2antl4A2AB2并作变量替换b,=a,+B/2A，且令α=A，β=C-4A，则原递推式又可写为bn+1=b,+β(n=1,2,.)例2.1.6转化下述数列的表达形式：/I+b -1 (b,>0,nEN,mEN).(1) a.bnag+a(2) an+(a,=α>0,α<β,n=1,2,)α+1
2.1数列极限以及求极限的方法.27.(3)an+1=αan+(β+a,)/a,(α+>0,β>0,n=1,2,".).(4) an+1=a,(1-a,-b,)+an,bu+1=bi(1-an—bn)+b,(ai,br E(0,1),nEN).解（1)令d,="/1+bm（n=1,2,.),则1dn-1an=9(n = 1,2,...).d-i(d+dm-?++1)α+a&+a-p.（2）改写为az+)(n1,2,.)，且令b,=a—β，aα+α+1α+11,则数列转化为1bba+1 (n = 1,2,...).（3）令AVα十，b=Aa/β，我们有an+i=a,+β/an+yanVatr=(a+)a+β/a,=.Va+VpVay·abmt=A(b,+1/b,)（4）记cn=an+b,（nEN），我们有an+1 +bu+1 = (a +bi)(1 (an+b,))+(an+bh),CH+I =C(1-cn)+cn, c =1-(1-c)"从而知an—a,[1-(1—c)]/c,bn=b[1—(1—c)"]/c.例2.1.7求下述数列通项的解析表达式：(1)a>0,b>0,a,=ab/a+6,.,a,=aan-1/a?+a-(n=2;3,).(2)a≥b>0,a,=a+b,a,=a,ab/an-1(n=2,3,.)(3)a,=0,a2=1,a+1—2a+a-,=2(n=2,3,.)解（1）应用归纳法，不难指出a.=ab/Va?+nb（nEN)（2）应用归纳法，不难指出((antl-brt))/(a"-b"),a>b,a.[(n+1)a/n,a = b.(3）记b,=a,—am-1则bh+1=b,+2(nEN).易知bntl-2+2+b-=..=2n-1.从而又知an+1-a=but1+b,+...+bz=2n(n+1)/2-n=n2anti = ai +n?= n2,an = (n-1)2.例2.1.8试证明下列命题：
:28.第2章极限论(1）若(an+an+)，(a,+an+2)均为收敛列，则(a)是收敛列.(2）设入>0,an+1=a(2—^an)(nEN).若ai,a2>0,则lima,=1/入.(3）若an+1=αa+(1-α)an-1(0<a<1),则lima,=[(1-α)a+azJ/(2-α)证明（1）只需注意表达式an1 = ((an+1+an+2)+[(an+an+1)-(an+an+2)J)/2.(2）（i）由题设知az=a,（2—入a,)>0,故2a,>0,1-ai >-1.又由^a,>0,可知1^a,<1.即[1入a,/<1.（ii）因为我们有=1_(1-a,)2一一-anan+=入an+1 = 1-(1-a,)2,(1-Aa+1) (1Aan)2 *.. = (1-Aar)2",所以根据(i)可得lim(1 )ant) = 0,liman+1 = 1/入.(3）因为由题设知an+i—a,=（α—1)(a,—an-)，所以an+) -an = (α-1)r-l(a2 ai),(a -a) = (az -a)(a1)-1anti-ar=k从而可得)=+(1α)aliman = lim(%=a +al12-2-a例2.1.9简化下列数列的通项的表达式：1(1) a,=(1-→)(1-)(1-n(n+1)/2)(nEN).(2) a,-(1-2)(1-)(1-(n+1)(ne N).o....2*+(nen).(3) a,=号··1622解（1)注意到1-1/k(k+1)/2)=(k—1)(k+2)/(k(k+1)),故有1.4.2.5.3.6...(n-1)(n+2)1n+2an2.33.44.53n(n+1)n1k2+2kk.k+2，所以(2）因为1(k+1)2(k+1)2k+ik+1kk+21324n+1.n+2=1.n+2nTa=k+ik+l2233n+1n+lann+l
2.1数列极限以及求极限的方法·29:（3）因为（22*+1)/22*-1=1+1/22"，所以有a= (1+)(1+)(1+)(1+)(1-)a,= (1)(1+)(1+)(1+2)= (1-)(1+)(1+2)-- (1-2).例2.1.10试求出下述数列的极限limam：1(1)an（k+1)辰+kVk+171(2)anJ台V2k-1+V2k+11(k+1)/k-kk+i-11解（1)因为，所（k+1)2k-k（k+1)kk+1(k+1)/k+e/k+1以lima, = lim2(1lim(1h+/n+1V2ki-V2k-1，所以（2）因为22k-1+/2k+11(V2k+1-2k-11（V2n+1）)一=limlima=lim22220/nVn例 2. 1. 11试求下述数列（an）的极限：+6+11k+52k-11(1) a, =(2) anZS2(K十3)!b,+++”-m(3)a,(b,±1,b,-→1(n-→00)).b, 1解（1)因为+6k2+11k+5=(k+1)(+2)(+3)1,所以1L1(11+a,=（-（k+3）））2!31(n+1)!(n+3)(n+2)!由此知an→5/3(n-→00).(2)因为an"a,=022