.20第1章实数、函数P(r)=aor+ar-l+..+a-r+a.其中ao，ai，，a,称为P(r)的系数，ao称为首项系数，且总假定ao≠o，此时称P(r）为n次多项式，零次多项式是指非零常数ao.若To满足方程P(z)=0.即+a++a-+an=o则称zo为多项式P(r)的根或零点.而式P(r)=0称为代数方程注不要随便说分段函数不是初等函数，请看下例。例1.2.23设分段函数定义为Ea,，x<0,f(r) =^0,0<r<1,linr,>1.我们有+n+V=*+112.2f(r)=22注Dirichlet函数不是初等函数，但可用“无限”次运算构成；f(α)=lim[limcos(2·m!)].最后我们指出，从运算的代数性质划分范围，类似于实数分类，函数还有代数函数与超越函数之分.若y=f(r）是代数方程a(r)y"+ai(r)y-1++ar-i(a)y+a,(r)=0的解，则称=f()为代数函数，其中a,(a)(i=1,2"n)是的多项式例如，多项式本身是代数函数，并称为有理整函数.又如a"+aa-++a-ia+a（ao0,b0）ybor"+bami+...+bu-r+bm是代数函数，并称为有理分式（函数）.上述两种函数统称为有理函数.不是有理函数的代数函数称为无理函数，如用无理根式表出的函数，不是代数函数的函数称为超越函数，例如指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数等例1.2.24y=/不是有理函数证明反证法.若有Va=a+ar+"+a"bo+b,r+...+bmr"则取=（是任一正整数），可得P(k)=ao-bk+a2-b,k3++ak2n（或-bmk2m)=0这说明多项式P(r）=0有无穷多个不同实根，从而知P(k）=0.因此，我们有ao=b- a=b=…=0.也就是说，不能表成有理函数例1.2.25试证明下列命题：（1）在平面上，一条直线与有理函数的图形的交点至多为有限个
数1.2函.21.（2）三角函数不是有理函数证明（1）反证法.假定对无穷多个值，等式P(r)-ao+aix++ar"ar+=Q(x)bo+br+..+br成立，则根据上例之推理可知boβ=ao,boα+bβ=ai,，baα+b+β=a+1（这里，为简便起见，当k>n时令a=0；k>m时令b=0.）从而我们有P()=bβ+(boa+bβ)+(bia+b2β)x+：=b(β+a)+b(β+ar)r+...= (β+ar)Q(r).由此又知(除Q(z)的零点外），P(α)/Q(z)确为同一线性多项式.证毕（2）由周期性可知，水平直线y=1与任一三角函数的图形均有无穷多个交点.证毕.注初等函数的重要性，不仅在于它可以描述许多客观事物运动和变化的规律，还因为可运用“无限”的表现手法（如积分、级数）用初等函数来表示非初等函数，这属于本书第二册所介绍的内容.孔#心
第2章极限论2.1数列极限以及求极限的方法2.1.1数列及其极限概念（一）（实）数列11数列是指可列个实数的确定排列，如1，.一般用字母表示为23Mfanh:asa2,",an,",其中a1，a2称为初项，a,称为通项.因此，所谓给定一个数列，是指其通项已经有某种确定的描述，当然它的形式可有多样性，举例如下：1.a,=1，z=1，a+2=a,十a+，（n=1,2，）.（俗称线性递推式）2.0<a<1,an+1=a,（2—a）（n=1,2，).（非线性递推式）2k-1(n=1,2,…)（和式)3.a,=台2h(1-(++2) (n = 1,2.) (积式)4.a5.0<a1*a2*an+2=Va+an+（n=1,2,.).（根式）6.0<p<1,aa+2<pa,+1-p)au+1（n=1,2,..).（不等式）7. a,=(1+)）（n=1,2…).（解析式）(二)数列的极限定义2.1.1设(a)是一个数列.若存在常数a,对于任意给定的正数e，都存在一个正整数N,使得当(a.的下标）n>N时，有不等式|a一α|<e成立，则称a是(a,）的极限.记为liman=a或an-→a(n→o).(lim是limit的简写)或称当n趋于无穷大时，数列a，趋于（或收敛于)a，(a,）是以a为极限的收敛列；不是收敛列称为发散列注为行文简便，在极限定义的陈述中的某些术语也常用符号代替（量词）：“任给e>0"用“Ve>0"代替，其中符号“”是英语Any第一个字母的倒写；“存在N"用“日N"代替，其中符号“3”是英语Exist第一个字母的反写.从而，数列（a,》以α为极限的定义可简写为V>0，3N，使得|a—l<en>N此外，所谓lima.=a，就是指lim(a-a)=0.因此，若令h,=a—a，则得a,=a十h，而问题转化为limh.=0
2.1数列极限以及求极限的方法.23.我们特别称收敛到零的数列(α）为无穷小（变)量（或无穷小数列）.从而可以说：收敛到α的数列(a,)等价于数列(a,一a)是无穷小量定义2.1.2设有数列(a,).若对任意的正数M,都存在正整数N，使得当n>N时，有laal≥M,则称(a)为无穷大量（记为lim|aa|=十oo）；若存在正数M,以及正整数N，使得当n≥N时，有|a|<M,则称(a,）为有界变量2.1.2求数列极限的方法（一）用=N的定义例2.1.1试证明下列命题(1）设数列(an）满足an/n+0(n→o0），则max(ai,az,",an)=0limn(2）设lima,a，则(i)lima/n=a（称为在（c，1）意义下可求和于a）(ii)lim(a,+2az+..+na,)/(1+2+..+n)=a证明（1）由题设知，对任给e>0，存在N1，使得lan/nl<e,lan/<ne(n >N).从而我们有max(an,+,"",a,)nen对不等式maxfaj,az,.,a,) max(ai,.,an,), max(aN,+I,,a,)n1再取N2，使得|max(a1,",an,)/n<e(n>N2).令N=max(Ni,N2),则当n>N时，可得max(ar,a2,"",an)2en（2）（i）首先知道，对任给>0,存在Ni，当n>N,时，有la,一al<e.于是用N作分项指标，得a+a++an(ai-a)+...+(an-a)n7lai-al++lan-allan+-al++la-aln[a-al++lan,-al-Nnn
·24:第2章极限论并记M= la, -al+.+[an, -al.其次取 Nz,使得当 n>N: 时,有<e. 从而记 N=max( N;, Ne),我们有a++ane+n-Ne<2e (n>N).n72即得所证注此命题对α=8o也真.此外，若（a）是递增列，且有lim +aa ++aan.o则 a.-+a(n-+0),（i）依题设可令a,=a十en，en→0（n→o），即对任给>0，存在N，使得le/<e(n>N).故可知Skaa+In(kat从而只需指出I,→0(n-→o0)实际上，我们有（记=maxlel，，lenl))e++NeN+(N+1)en+I++enI I, /=1+2+.+n1+2+...+nN(N+1)+I(N+1)eN+*+n,!n(n+1)1+2+..+nN(N+1).+(N+1)+(N+2)++nn(n+1)1+2+...+nN(N+e<2e (n充分大).(n+1)n由此即得所证。例2.1.2试论下列数列的收敛性：(1)a,>0,anti=a,+(2-a)/2a,(nEN)(2)a=2,a2=2+1/2,a=2+1/(2+1/2),*",an+1=2+1/a,(nEN).解（1)(i)若存在极限a,-a(n-→),则在上述递推式中令n-o,易知a=V2.(ii）令a,—/2hn，下证h,-→0(n-c)：因为hn+1=an+1—/2=hn[1—（an+2）/2a,=h/2an，所以根据a,>h，可知hnha-!h10<hn+1<2222n从而对任给e>0（取e<h,），可选N，使2N>h/e.由此即得所证