数.15.1.2函1,2,作两点P(1,f())与Pe(2,f())之间连线—割线，则函数f()在与2之间的图形位于此割线的下方，下面给出分析定义：定义1.2.1设y=f()在区间1上有定义，若对1中任意的两点1,2:,<.2，有(a)≤(a)+(m)=(a(a-m),。 re [mm].2则称f(a)为1上的(下)凸函数.若式①中"<”改为<”(rE(,)时),则称f()为I上的严格（下）凸函数例如，函数（α>1)在（0，80）上是（下）凸的，Inz在（0，0）上是上凸的定理1.2.1f()是区间1上的凸函数的充分必要条件是对工1，E1以及0<<1.有②f((l-t)+)≤(1-t)f(a)+f().证明充分性：设式②成立，易知存在唯一的1：0<<1，使得对<<2，有1-1=(1-t)+2,或1=T2N从而由②知f()=f((l-)+)<(1-)f()+f()= (a) +() -() = f()+ (n)=((2),12-即①成立，f(）在I上是凸函数必要性：对于I,仍记为=(1-)0≤1.由凸性条件知(1) +2)= ()≤()+(2)-(2)(-)1221=f()+f()-f()=(l)f()+f()即②式成立.推论（割线斜率的递增性）F（r)在区间1上是凸函数的充分必要条件是：对I中任意三点<<,有(r2)-f(z)f()一f(a)213-2例1.2.18f(α）是区间I上的凸函数的充分必要条件是：对r,EI(i=1，2,.,n;n≥2),以及p≥0(1<<n),p+p2+..+p=1,有f(pa+..+p)<pf(r)++f()（称为Jensen（詹生）不等式.）证明充分性由定理1.2.1立即可得必要性.设f（r）是I上的凸函数，并采用归纳法：当n=2时，由定理1.2.1即得假定n=k，不等式成立，则对于αEI（i=1，2,，k，k十1)以及满足p十+十+=1的非负数≥0（i=1,，，+1)，令α=,+.+β=1α=Pe+1
第1章实数、函数16.若α=0,即P,===0，=+1=1，则f(piai++p+)=f(+),f(a+)=pif,()+..+pHf()若a>0,记m=mini，",),M=max,.,,),以及(pai+.+p)α易知m，MEI,且有m(p++p)piai+..+prCk(p++p)Mm=moMαaaa由此知，m<M，且EI.因为f是凸的且α十β-1，所以有f(++)≤f()+(+),(pr) ++ P+pm+)a(2++P)+Ph(cm).由于1(±+)=()+…+(),故由归纳法假定可知1(++)()++().从而得af(++)<f(a)+.+ ().9最后，我们有f(+...++++)<f()+..+f()+f(H).注1在Jensen不等式中，令pi(i=1,2,",n),q(pi+..+p.)则得不等式f(++)f(z)++f(z.)p+...+paP++p.例如,()(>0,>1),可得(）p>0,x>0 (i=1,2,",n)P++p.pi+.+p.或2.)≤(2)pr), p,>0,>0 (i=1,2,",n).若以b户代a,b代，则有Sab,≤
1.2函数17此不等式称为Holder（赫尔德）不等式注2若f1/）在区间IC（080）上是（下）凸的，则工f(z）在I上也凸注3若f()在区间1上是（下）凸的，g(r)在f(I)上是（下）凸且递增，则gLf()在1上也凸.但若g(z)不递增，结论不一定真.例如g(z)=e*，f()=，而gLf())=e*不是凸函数.例1.2.19试证明下列不等式：n?1+.+1 (α>0,=1,2,,n).(1),+..+a.T工1<c<a++a(a>0,>ok=1,2,..,(2)αi++αnX1,n(3)r..r+y..y<(r+y)i...(+yn)a=α>0,>0,ay>0,k=1,2,,n)二，我们有证明月(1)考察f(α)=r1≤11±.:+11nT+..+ntnn(2）考察f(α)=一Inr,则In(r..a)=alnti+...+a,Intn<In(aa+...+anan)（3）将原式改写为ti.r.t+y.y..y(+*(+年,)≤1,再根据（2），我们有31Cnyiy上式左端++anI+yn++an+yn=1+a+y由此即可得证例1.2.20试证明下列命题：(1）若f(z)在（0,80）上严格上凸，f(0)=0,则f(a)+)<f(a)+f(),31,32 E (0,00).(2）设f(α）)在（0,co)上是（下）凸的，且limf(）=0,则f(α）/z在（0,o0）上递增.(3）设f(α)/α在(0,80)上递减，则有
第1章实数、函数18.Ti,72 E (0,00).f(a+)<f()+f(),（4）设f(x）在（0,oo）上是（下）凸的，且有41,12 E (0,00),f(ai+x)<fa)+f(),则f(α)/在(0,80)上递减证明（1）易知连结点(0,0)与(十f(十))的直线为f(+)=k(+),又由f()>kx，f()>kt,故得所证(2)设0<<z<.若0<<，则有+-2X2-2-T由f()的凸性，可知()f(a)+f(a2)X2-12令-+0+，即得f(l)<f(r2).证毕，（3）只需注意，对α2≥0有f(x+a2)f(+a)<f()+f(2).f(+)=a+a2a+az(4）设0<<x2,且令=/2，q=1-，则f()=f(pxi+g(ai+))<pf()+gf(a+)≤f()+qf()+f()) =f()+(1-)f(2).从而知f()f()例1.2.21试证明下列命题：(1）设f()在[a，oo)上是凸的，则函数F()=f(b+r)-f(r)(6> 0)在[a,)上递增.(2）设f(）是区间上的正值函数若对任意的αE（一oo,oo），ef（α）在I上是凸函数，则Inf（α）在I上也凸.证明（1只需指出不等式（x1，,E[a,80))F()<F(2), <2,-<b：将三弦不等式用于1，2十b;2，+b,2+b,则F(21)=6f(a1 +b)-(21) ≤6F(a +6) -5(2)b+6-2
数1.2函19f(2 +b) -f(12)=F(2)6b(2）对y，令α=[lnf(y)-lnf()]/(一y)，则对tE[0,1]有etariai- fLu +(1-t)y]<te" f(a) +(1-t)ef(y).从而可得f(tr +(1-t)y)<te-(-)" f(r)+(1-t)e"f(y)zelo-ma-0 . f(r)+(1-)ela- . f(y)f(r) . ()+(1-[]()-tfCaFC.f(r)". f(y)-证毕.例1.2.22试证明下列命题：(1）设g(α)是(一o0,oo)上的正值函数.若lng(α)是(下)凸函数（称g(r）是对数凸），则g（α)是凸函数（2）设f(r)是[0,1]上的凸函数，则函数p(r) = f(r)+f(1-α)在[0，1/2]上是递减函数证明（1）因为对α，β>0且α十β=1,有Ing(ax+βy)≤αlng(r)+plng(y)(8,8),所以g（αz+βy）≤g（）g（y）<αg（α）十g（y），证毕（后一不等式来自u<αuβu,或(/u)-a<α+β(/u)(u≥).为此，考察不等式la≤αβ()(r≥1).，令f(a)=α+-ala,则f(α)≥0.而f(1)=0,f(r)>0(>1)（2）对0≤x<y≤1/2,取α:0<α≤1,使得y=ar+(1-α)(1-r),1-=α(1-α)+(1-α).从而可得（根据f()的（下)凸性）p(y)=f(y)+f(l-y)=fLa+(1-α)(1-)+fLa(1-)+(1α))<αf(a)+(1-α)f(1-r)+αf(l-)+(1α)f(r)=f()+f(1-r)=().（二）初等函数大家所熟识的函数、三角函数、反三角函数、对数函数与指数函数等，是人们在初期所认识和工作的对象，它们都由一个单一的式子表达，称为基本初等函数.后来，又有了一般的四则运算和复合运算等手段，函数的范围进一步扩大了，我们也给它一个说法：凡是由基本初等函数经过有限次四则运算、复合运算构成的函数称为初等函数，即通常所说的用一个“解析式"表达的函数，如In(1+√1十sin)，eo，以及多项式（函数）