第1章实数、函数10:例1.2.9椭圆方程H+Ma2162也可用参数方程表示.实际上，令a=acost，y4则代人原方程后，立即得到y=bsint.故其参数方程为T=acost,0≤t<2元Mxy)ly=bsint,其中，参数t的几何意义如下：作出两个圆-心位于原点O的同心圆，半径各为a与b（图1.2).设M（x，y）是椭圆上一点，B是大圆上的点，其横坐标也为，记OB与轴的夹角为t，由图示可知，x==acost,图1.2y-MC=AD-bsint.例1.2.10（Cycloid旋轮线或摆线）设有半径为a的圆，置于一直线上并沿直线作无滑动之滚动，则其圆周上一点之运动轨迹曲线称为旋轮线。现在，取直线为轴，并在圆周上取定一点P（图1.3).假定运动开始时，P点位于原点O，并取过原点之轴垂线为y轴图1.3假定滚动开始并设该圆到达自转角度为t的位置.此时，易知点P的工，y坐标各为x=OA=OB-AB=at-asint，0t<2元y=PA-DB=CB-CD=a-acost,注1如果我们想从旋轮线的参数表达式中直接得到与之间的函数关系，那么可以得a二,代人r=a(t-到=（y）如下：在区间[o，元上，函数y=a(1一cost)有反函数t=arccossint），可得
数1.2函.11arccos=aarccosa或在0<<时，有a-y2ay-yr=aarccosa而在a<2元a时，由图形易知a-yY2ay-1=2元aOSa注意，函数一a（t一sint）存在反函数，但它不能用初等函数来表示.也就是说，函数y=f(z)是不能用初等函数表出的.由此可知，在许多情况下，在函数的研究中，用参数方程表示法比直接用直角坐标表示要恰当和简便得多注2为了补充数学理论的完整性和概念的确定性，以及表达上的清晰性和运算的简便性，常需要人为地定义一些函数，如下所示：符号函数（signumfunction）：yt1>o,(1,0,z=0,y=sgnz=coshx(-1,r<0.Dirichlet函数：1，a是有理数，sinhxf(α)10，工是无理数.Riemann函数：(O，是无理数，of(r)， (P, N,且与q互素).1qo双曲函数：E（-0000)(图1.4)esinhz,tanhz-2e'+er图1.4e+ercothr=e+ecoshz:2e-er整数部分函数：y=[α]=max(z:zEZ,2<r].1.2.2函数分类初步有区别才有对策.给对象分类或划定一个范围，是在研究课题中带有一般性的启动步骤.就函数而言，从整体特征看，可分为奇偶、单调、周期与凹凸等，它反映出其图形的某种对称性（今后还将进一步挖掘局部一一小范围的待征来界定函数的性质，那将是更深层次上的分类描述）此外，从对函数的认识进程来看，初等函数（见本节（二））是人们在初等数学领域中操作时所涉及的范围.在微积分创立以后，人们需要而且必须突破这一认识上的框框，才能进一步描述客观事物变化、运动的规律
12.第1章实数、函数（—）函数图形的整体特征分类简介奇偶型1.定义在（一a,a)上的任一函数均可分解为偶函数与奇函数的和：f()+f() +f()-f()f()=222.奇函数的反函数为奇函数.不存在任何函数，其反函数为偶函数。例1.2.11试证明下列命题：(1）f(）=ln(α十1十)是（一00,80)上的奇函数(2）设α2≠b，f()定义在（一80,80)上，且有f(0) = 0,af(α)+bf(1/α)=c/(α≠0),则f(z)是奇函数证明（1)因为我们有f()+f()=In(-+V+)+ln(++)=In(V1++r)(V1+r-r)=In(1+-x2)=lnl=0,所以得到f(一)±一f(α).（2）在题式中以≠0换1/，可知af(1/r)+bf(α)=cx.再结合题式，则得f(r) = -4-ba2-h2(3由此即知f(z)是奇函数增减(单调)型例1.2.12f()=r3+十q(p>0)是(-80,0)上的严格递增函数证明设,<,则有f()-f()=()+()>0.所以，f(α)是（一80o)上的严格递增函数周期型例1.2.13试证明下列定义在（一80，)上的f(α)是周期函数：(1)存在T≠0,使得f(a十T)=一f(α).(2）存在T0,使得f(十T)=1/f(）.证明（1）因为我们有f(+2T)=f(+T)+T=-f(+T)=-[-f()=f()所以f(r）是以2T为周期的周期函数.(2）因为f(α十2T)=1/f(α十T)=f(α），所以f()是以2T为周期的周期
数1.2函13函数.例1.2.14下列函数f(r)均非周期函数：(1) f(x)=sinr(-00<r<00).(2)f()=sinr+sin /z(-00<r<0)证明（1）只需指出该函数没有正周期即可.为此，假定T>0是它的周期，即sin(x+T)?=sinr,E(-8,8)取r=0，可知sinT=O，即T=n元.由此知T=n元（n是某个正整数）当E（0，元）时，sinz≠0.但因n元是周期，故有sin（十n元）0.然而当=/元时，却有sin（/元十元）=sin（/元）=0.这说明元十√n元是从右边离√n元最近的使sinz2=0的数，注意到sin（（n十1)元）2=0，就得到元+元≤元（n+1）或1<Vn+1-/n但这是不可能的，因为我们有1Vn+i-un=<1.Vn+i+/n也就是说f(r）=sin2不是周期函数，(2）反证法.假定f(α）以T为周期，则0=f(α十T)f(α），即+2sincos(/2+）0-2sin+12由此知sin（T/2）=0=sin（T//2）.从而有2n元/2m，m/n=/2.但m，n是自然数，矛盾例1.2.15设定义在（一80,oo）上的具有正周期T的函数f(α）满足f()f(y)/<Mlr-yl(a,yE (-,8)),则 T≥2/f(α)-f(y)| /M(x,yE(-00,00)).证明只需考察满足0<<y<T的，y，我们有T=(-)+[-(-)J=l-I+I(+T)-I f()(α) I+(+)f() /=I ()-() 1.M例1.2.16试证明下列命题：（1）若函数y=f(α)在（一oo,8）上的图形关于直线z=a，=b对称，即f(b+r) = f(b-r),f(a+r)=f(a—r),则f(a)是周期函数.(2）若函数y=f(α）在（一o）上的图形关于点Proy)对称，即f(z+)—=f(—α)，以及关于直线=b(br)对称，则f()是周期函数证明（1）由题设知f(α）=f（2a-）=f(26—).令t=2b—，又有
第1章实数、函数14f(t十2(a-b)）=f(t).这说明f(r）是周期为2|a一b|的周期函数（2）因为我们有f(b+α)=2yo-f(2ob-),f(b-α)=2yo-f(2xo-6-),f(α)=2y—f(2o—26+α),f(262o+)=2yo—f(α),所以f(2xo2b+α）=f(26-2o十x）.从而有f(）=f（4(b—z）十α）.这说明f(α)的周期为4(bzo).例1.2.17试证明下列命题：（1）设f(）定义在（一o，oo）上.若存在T0,k>0，使得f(r十T)=kf(r），则存在a>0以及周期函数(),使得f()=a()(2）设f()定义在（一0,)上.若存在T≠0,使得f(十T)=f(）十c,则存在以T为周期的函数g（r），使得f(r)= g(α)+cr/T.（3）不存在（一80，8）上的函数=f（），它以每个无理数为其周期，而任一有理数都不是其周期.证明（1）令a=k/，且作@(）=a-f(α），则(+ T)= k-a+Tf(α+ T)=k-/T .k-1 .kf() =k-r/Tf() = p().即p()以T为周期,且f()=a().(2)取g(x)=f(r)-ar/T.（3）反证法.假定存在如此之函数f(α），则对有理数r，必存在实数α,，使得f(a,+r)≠f(x).（i）若，是有理数，则取无理数y，使得y,十r是无理数.从而有f(,+r)=f(a,+r+y)=f(a).导致矛盾.ii)若,是无理数，则f（,+r）=y/ y=f()f(r).但是f(r)=f(r一a,十,)，故若rr是无理数，则f(r一,十）=f（,），导致矛盾.从而r一，为有理数，此时易知，是有理数，又矛盾.证毕凹凸型0我们经常看到，许多函数的图形向上（轴正向）4FX2凸起或向下凸，这是曲线形状的最重要的特征.从几图1.5何上看下凸函数，如图1.5所示，对于定义域中的