1.1实数.5.（4）反证法.假定存在>1以及e>0，使得am1<n<m>E0,Toan因为a,/ant11n-→oo），所以对充分大的k，存在n>k，使得am<toam>o(m>ni).(m<n),akak特别，对每个k，我们有am+l_am≥2e0,am+1-1≥2e026070.akakatankXo但后一式左端在k-→十时为0，这与e>0矛盾.例1.1.8试证明下列命题：(1）对任意给定的实数以及正整数N.N>1，必存在整数p，9:0<g<N，使得Iqx-p/<1/N.（2）若为无理数，则存在无穷多个有理数卫（(g>0)，使得qp（3）若α是无理数，则点集E=(m+na:m,nEz)在R中稠密证明（1）考察N+1个实数mr-[ma](m=1,2，,N,N+1).由于有0<mr一[mr]<1,故在N+1个数（mr-［m]]中必有两个数，其差的绝对值小于1，不妨设为[m-[mz]-(mz-[m]<,0<mi<m2<N.令q=m2-m,=[m2]-[mz],则0<q<N,且[qz-pl<（2）反证法.假定只有有限个有理数满足上述不等式，即P1(i= 1,2,..",m)qi1giD=1,2,…,m),取 N.,N>,且作整数 p,q(0<g<N),使得令=ming:1p1Iqr-plrN02g
.6.第1章#实数、函数p1<8. 根据之定义,马+(i=1,但因g是正整数，故又有qN9qqqi2，，m），这与原假设矛盾，证毕.(3）对任意实数pq:g-p=e>0，由于存在p，g,EQ(g→+80,n→o），使得PnIqa-p,l<1<eqm9r因此可令a=|qmα一pl，而至少有一个数ma(mEz)，使得mga一mp,(或-一mgα+mp)E（p,g)注1对E（—80,)，若存在既约分式/（有理数，EZ,EN且g-+,k8），使得-/=0（1/）(k-→0),则EQ.为此，采用反证法：假定=p/q(EZqEN)，则知qp0(o).因为—qEZ，所以q-p=0.即对充分大的，有q=/q，矛盾.注2若α是无理数，且是n次整系数代数方程的根，则存在C>0,使得|α一p/ql<C./q(PEZ,gEN)注3（Kronecker-e6bmleB定理）对任意的无理数α以及数β，存在无限个整数p，q(p>0)，使得I pα-q+βl<3/p.由此结果可以证明：对任意实数β,均存在整数列（n），使得sinnsinp(koo).实际上，取α=2元，以及（+00)，使得2+0(1)(00），9=2元+十0(1)(k00)。1.1.3常用公式n(n+1)(n+2)1.=(1+2+..+n)22.2ln!3.（Newton二项式)(a+b)"=Cra"*b*,C = kl(n-k)]0证明运用数学归纳法ai+a,+.+a (a,>0,i=1,2,.,n).n4.Vaia2..a1+1+.+1nara2an证明后一不等式称为几何一算术不等式，可用数学归纳法证之；而前一不等式可直接由1111arazan1a.aza.nYa,.a2...an推出
数1.2函75. (Cauchy不等式)(a,b.)"<(a?).(6)i=li=l月引进变量t，展开不等式证明0≤2(at+b) =t .≥2ab.+26Za+2t.1=由此立即可得结论为真6.三角求和公式7cos(α+ka)= sin (n+1)g.co(1)sin-742=0 sin(2k-1)x = (sinnr)?1(2)sinr1ncos(n+1)r·sinnrEsinkr=-(3)>22sint数1.2函1.2.1函数的构成和表示手段简介（一）就一元函数而言，y=f（z）表示从一个实数集E到实数集R（f)（值域）的一种对应关系，而E主要是指区间I.从已知函数出发，还可以构成多种函数，其基本方法有：四则运算（如f()土g()，f(α)×g()等)；复合运算(如g()J)；在对应是一一对应时，又可出现反函数；在许多课题中，函数关系了不是一下子就能用明显的形式表示出来，而是通过它所具有的性质，或者与其他事物的联系中暗示出来（如通过函数方程).在未用显式表示时，我们称其为隐函数.许多隐函数是无法用显式表示的，此时可通过其他手段来研究其性质，有时也采用“无穷形式”的表示手法（如无穷级数、积分等）.例1.2.1设在[0,1]上定义了函数是无理数，0,o,α=0,g(r) =h(r)1卫(既约分式)，=(1.0<r<1,qq则g对h的复合函数为定义在[0，1]上的f（z）：{1，是有理数，f(r)=g[h(r)]lo，工是无理数2例1.2.2设f()=，则n次复合函数1+1a(f.f.f...f)(r)-V1+nr7证明当n=1时，即f()=，满足该结论Vi+r
第1章实数、函数：8.现在假定n=k时，k次复合函数满足(f.f....f)(α)V1+kr?则对n=k十1时，其（k+1)次复合函数为z(f.f.....ff)(α)-V1+3+r+hr?rT1 +x?V1+(k+1)r/1+根据数学归纳法即得所证。例1.2.3解答下列问题：（1）设n是奇数，且p>0，gER，试证明y="+px十g存在反函数(2）试问a，b取何值，使f(r)=ln(a十be）是自反函数？证明（1）只需指出，若有1，,ER，使得+a+=++则必有=.实际上，由上等式可得+(—)=0，而n是奇数且>0,故必有=2.(2）由题设知f()=(),再注意到()=可得f()=从而有In(a +belh(ate*) = {,即a十ab+6e°=e.从而有（i)a>0,b=-1;（ii）a=0,b=1例1.2.4求满足下列函数方程中的f(z）：(1) f(r)+()=1 (0,1).（2）设f（）是定义在（0，80）上的正值函数，且有fLf()= 6r-f().(3)xf()+yf(α)=(α+y)f(α)f(y),t,yE(-00,0)解（1）以变量（t-1)/t代x，可得f((t-1)/t)+ f(-1/(t-1)) = (2t-1)/t.另以—1/(t—1)代，又知f(- 1/(t - 1)) + f(t) = (t - 2)/(t - 1).从原式加第三式减第二式，我们有f(α) = (3 - 1)/2r(1).（2）对任给实数α>0，记a,以及an+1 =f(a,)(n -0,1,2,..)
1.2函数9则代人方程可得aa+2十an+1一6a,=0（n=0，1，2，）.解其特征方程>入2十入—6=0，即（十3）（入—2）=0，可知a,=（—3）"c十2"d.根据f（a）>0，又得c=0，从而有a=2"d.易知d=ao，我们有f(a）=a,=2a，即f(r）=2.显然，此解是唯一的（3）取a=y=1，则由题式知f(1)=0或1：(i)若f(1)=0,则令y=1,可知f(z)三0.(ii)若f(1)=1,则有f(r)十=(+1)f(),rE(—80,0).从而可得f(x) = 1(r± 0),f(0) = a(-0<a<).例1.2.5设定义在（一80,8)上的函数f(r)满足f(α)<a，f(r+y)<f()+f(y),则 f(r)=r(-80<r<00).证明(i)易知f(0)<0.又当r=y=0时有f(0)<2f(0)，即得f(0)≥0,故f(0)=0.(ii)由f()≥f(十(—))f(—)—f()≥,结合f()<,我们有f(r)=r(rER).例1.2.6试问a,6取何值，使得函数y=+gr+br+2b2+r+1是线性函数？解因为我们有y= r+(a-1)+(b-1)r+ 26,++1且由于上式右端分子为(a-1)(r2+r+1)+(b-1-a+1)x+2b-a+1故知a=—1,6=—1时为线性函数例1.2.7试求a，b之值，使方程logar=有正解x解将原式写为a=或Inr/=lna,可知原方程有正解当且仅当Ina是在函数f(α）=lnz/α°的值域中，易知f(a）的值域为（一oo，1/be），从而原方程有正解x当且仅当Ina1/be，即1<a<el/b（二）就一元函数而音，y=f（）是笛卡儿直角坐标系中的表示方式，它的优越性是显然的，然而在许多情形中，用参数式=(t)，y=y(t)的表示法却有着不可替代的作用（特别是在方程F(r，y)=0中y有多值以及描述平面运动时).例1.2.8设从高。处以速度在水平方向（α轴正向）投掷一物，若不计空气阻力，记时间为t，则其运动轨迹为gt?y=yo2’02或yy206x=Vot