目录2985.8广义中值公式300第6章微分的逆运算一不定积分6.1原函数与不定积分的概念300-6.2积分法法则307..··3076.2.1不定积分运算的初等性质3116.2.2换元积分法..3206.2.3分部积分法3286.2.4不定积分的递推公式..6.3原函数是初等函数的几类函数积分法334..3346.3.1有理分式3386.3.2无理函数3506.3.3三角（超越）函数福友R
第1章：实数、函数数学分析是以研究函数性质为已任的，这些函数是定义在实数集（或有序实数组形成的点集)上，且取值为实数.因此，先对这方面的基础知识作一简单介绍和回顾是有益的.1.1实数1.1.1分类全体实数记为（一，o）或R正整数（自然数，1，2，，n，）全体记为N.整数（0，土1，士2.…，士n,)全体记为Z.有理数（㎡mEZ,nEN;m与n互素，为既约分数）全体记为Q无理数（非有理数之实数）全体记为R)Q代数数满足整系数代数方程ag"十ai"-1+…十a,=0的实数（根）.（有理数是代数数；+g7（qEQ）满足方程-2z+（p2-7q）=0，是代数数.）超越数非代数数的实数（圆周率，对数底e等）例1.1.1试证明下列命题：(1）若n是自然数，则Vn-1+/n+IERIQ（2）若自然数n不是完全平方数，则/nERIQ（3）设a，b，c是正有理数，若/a+/=c，则/aEQbEQ(4) (i) /2ERIQ(n≥2). (ii) nERIQ(n≥2)（5）存在正无理数a，b，使得α°是正整数证明（1）反证法.假定n-1+n十1=p/g（p与g是互素自然数），则易知力"n2-1=n=（p+4g)/4pg2.由此可知是十4g的因子，也即是的因子，这与假定矛盾（2）反证法.假定/n=p/q（p，g是互素自然数），则由ng=可知，q是的因子.从而得q?1，即p=n，这与题设矛盾(3) 记 d=4=b=a±()(-[)=/a-1)5,注意到/α+/6=c,可知cVa+/6Va-ctdVh-c-d22
2第1章实数、函数即得所证.（4）（i）反证法假定2EQ，记为2=(1+/)（p，q是互素正整数），则2=+)"-"++q".由此知q可除尽"，但这与，q互素矛盾.证毕（ii）反证法.假定存在rEQ，使得r=Vn，即"=n.易知rEN且r≥2.由此得r">n，矛盾.证毕（5）取a=/2，b=log/z3（bER/Q，否则有b=p/q=2log23，则2P=329.这是不可能的）可知α=3.例1.1.2试证明下列命题：(1）若有理数p/q(既约分式)是整系数多项式a,r"+a-ixrl++air+ao=0(an≠0)的根，则p是a。的因子，q是a，的因子（2）/2+/2与/3+/2都是无理数证明（1）用p/g代人方程并化简为anp"+an-ip"q+an-2p"2q+...+a-1+aq"=0由此知p是aoq"的因子，但p。不是q"的因子，故p。是ao的因子.类似地可证q是a，的因子.（2）易知/2+/2，/3+/2分别满足方程6-4+122-24-4-0,-9元-4+272-36-23=0从而由(1)立即得证定义1.1.1一个实数集E的全部元素若能按自然数次序排列起来，即E=(a1，2，"an，…)，则称E为可列集定理1.1.1若EI，E都是可列集，则其并集EUE是可列集.证明不妨设EnE=，E=a,a2，,a，…,E{b，b，，b，，则对UE中全部元素排列为11专ar,bi.a2,b2,..,an,b,,...,1-40341即可得证，22222例1.1.3试证明下列命题：2345+大（1）自然数集N是可列集，偶正整33/435332数全体是可列集。（2）正有理数全体Q+是可列集，图1.1（3）有理数全体Q是可列集
1.1实数3证明（2）作Q之方阵如图1.1，并按所示箭头为序把全体正有理数Q+排列如下：111231，4，5，言(r.):1,,2,3,23'4'32其中舍去重复者，且仅保留可约化的最简式。（3）因为正有理数全体是可列集，而负有理数全体只是前者在每个数前多一个“二”号，所以只要按前者的排序仍可排列起来，根据定理1.1.1即知Q是可列集（注意，数“0”可排在最前面）定理1.1.2开区间（0,1)中的全体实数是不可排列的证明用反证法.将（0，1)中实数都用十进位小数表示，并舍弃其小数点后连续出现无限个“0"的表示法.现在假定(0,1)中实数是可排列的，不妨将全体排列为《a,）：ay=0.a11a12a1na2 = 0. a21a22""azn"an=O.anan2"am"下面将指出这是不可能的，即可找出（0，1)中一个实数b，它不在排列中.我们取b=0.bb..b.…·如下·br若a11=1，则取b=2；若au半1,则取b=1.b2若a22=1,则取bz=2若a22半1,则取bz=1.b若am=1则取b,=2;若am≠1,则取b,=1.显然ba（i=1,2，，n，），这说明小数b没有在排列之中.这一矛盾指出（0，1)中实数全体是不可排列的.我们称不可排列的数集为不可列集.因此，(0，1)是不可列集，随之（0，1）中无理数全体是不可列集.这说明无理数的“数量”要比有理数“多得多”只有有限个元素的集合称为有限集，非有限集称为无限集.可列集是无限集，有限集与可列集统称为至多可列集，例1.1.4由直线（实数全体）上互不相交的开区间形成的集合是至多可列集证明在每个开区间中取定一个有理数，显然这些有理数互不相同，因此开区间的“数量”与所选的有理数“数量”相同，即得所证。1.1.2稠密性定义1.1.2设E是R中的一个实数集.若任意两个实数之间必有E中的一个数，则称E在R中稠密.例1.1.5（有理数的稠密性）设a，b是两个不同实数，且a<b，则存在有理数
第1章实数、函数r:a<r<b.证明因为b一a>0,所以存在正整数n，使得0<<b-a.易知na<na+1<nb,且存在整数mm<na+1<m+1.从而有na<m.综合上述结果，可得na<m<na+1<nb.由此立即导出na<m<nb，即a<m<b,其中"是有理数.例1.1.6（无理数的稠密性）设a，b是两个实数，且a<b，则存在无理数c：a<c<b.证明根据/2a</2b，可知存在有理数r，使得/2a<r</2b，易知a<<bJ2若r≠0,则一是无理数.若r=0,则a<0<b或/2a<0</26.易知存在有理数s:V20<s</2b.由此知/2a<s</2b,即a<<b.是a与b之间的无理数J22例1.1.7试证明下列命题：(1）对任一实数α，任一自然数n，存在r，EQ，使得I-/<1/n(n=1,2,...).(2）设a>0,b>0，则/2位于(a+26)/(a+十6)与a/b之间(3）若m，n取遍一切自然数，则数列m/n2）在（0，80）上稠密an→1(n→00),则数集(am/an:m≥n≥1)在(4）若(a,)是递增无上界列，且(1,+8)中稠密证明（1）作r，一[nx]/n即可（2）若a/b≥/z，则我们有a+2b = 1 +6112+/2=/2.=1+a/6+i≤1+a+ba+b1+21+V2由此即可得证.（3）对任一实数a>0，以及e>0,取n，m使得2V匠+7m2(m+1)2<e-n?nR从而可知m22m+12/元50<a2nen即得所证