二、曲线的凹凸性与拐点 定义1.设函数f(x)在区间1上连续，x1,x2∈I, ()若恒有/)<)+) 则称f(x)的 2 图形是凹的 ②若恒南/)>之 则称f(x)的 2 图形是凸的 拐点 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 A B 定义1 . 设函数 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 则称 图形是凹的; (2) 若恒有 则称 图形是凸的 . 二、曲线的凹凸性与拐点 y O x 2 x 1 x 2 1 2 x +x y O x 2 x 1 x 2 1 2 x +x 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 . y O x 拐点
定理2.凹凸判定法)设函数f(x)在区间1上有二阶导数 (1)在I内"(x)>0,则f(x)在I内图形是凹的； (2)在I内f"(x)<0,则f(x)在I内图形是凸的 证：，2e1,记5=2,1 利用一阶泰勒公式可得 2 f(x)=f(5)+s(-5)》 f"(5) (x1-5) 2! f(x2)=f(5)f'(5)(x2) "(x2-5 两式相加 f(x)+fx)=2f5)+(,)2[f"(5)+f"(5】 当f"(x)>0时，中f2>f(5),说明(1)成 2 (2） 证毕 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 定理2.(凹凸判定法) (1) 在 I 内 则 f (x) 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 f (x) 在 I 内图形是凸的 . + − 证: 利用一阶泰勒公式可得 ( ) ( ) 1 f x = f ( ) ( ) 2 f x = f 两式相加 2 2! 2 1 ( ) 2 1 x −x + [ ( ) ( )] 1 2 f + f 当f (x) 0时, 说明 (1) 成立; (2) 设函数 在区间I 上有二阶导数 证毕 , 2 1 2 x +x 记 = + f ( ) ( ) x1 − + f ( )( ) x2 − 2 ! ( ) 2 f + 2 2 (x − ) 2 ! ( ) 1 f + 2 1 (x − ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 2 f x + f x = f ( ), 2 ( ) ( ) 1 2 f f x f x +