设z-0=A(x-x0)+B(y-y)是Σ在(x,y0,=0)的切面.要证明定理的结论,仅 需证 PM‖ (x-x0)2+(y-y0)2 但已知 有界即可 PP →0,因此只需证 x-x0)2+(y-y)2 →0,不妨取P充分接近于P,使 得 (x,y)=f(x,y)14-x4+1y-y4+P 两边除√x-x)2+(y-y)2,由P!表达式得 If(x, y)-f(xo, yo ≤|4+|B f(x,y)-∫(x0,y0) (x-x0)2+(y-y)2 (x-x0)2+(y-y) 1,(xy)-/f(x2y ≤|4+1+1+ x-x0)2+(y-y0)2 因此 If(x, y)-f(xo, yo) ≤2(4+|B)+1 (x-x0)2+(y-y)2 而 f(x,y)-f(x0,y0) (x-x0)2+(y-y0)2 (x-x0)2+(y-yn)2 ≤|+(xy)-f(x02y) ≤2(4+4+1) 定理得证 设曲面Σ是F(x,y,z)=0给出,F(x,y,z)可微.在下一章隐函数定理中我们将证明 如果F(xn,1)=0,.面(xn,)≠0,则存在(x1,)的邻域U和U上可微的函 数z=f(x,y),使在(x0,yo,=0)的一个邻域上,曲面Σ由z=f(x,y)给出.特别的,其有
6 设 ( ) ( ) 0 0 0 z - z = A x - x + B y - y 是 S 在( , , ) 0 0 0 x y z 的切面. 要证明定理的结论, 仅 需证 0. ( ) ( ) 2 0 2 0 ® x - x + y - y PN 但已知 0 0 ® PP PN , 因此只需证 2 0 2 0 0 (x x ) (y y ) PP - + - 有界即可. 由 0 0 ® PP PN , 不妨取P 充分接近于 P0 , 使 2 1 0 < PP PN , 得 . 2 1 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 PP0 f x y - f x y £ A x - x + B y - y + 两边除 2 0 2 0 (x - x ) + (y - y ) , 由 PP0 表达式得 . ( ) ( ) ( , ) ( , ) 1 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) 1 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) 2 0 2 0 0 0 2 2 0 2 0 0 0 2 0 2 0 0 0 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - + - - £ + + + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - + - - £ + + + - + - - x x y y f x y f x y A B x x y y f x y f x y A B x x y y f x y f x y 因此 2( ) 1. ( ) ( ) ( , ) ( , ) 2 0 2 0 0 0 £ + + - + - - A B x x y y f x y f x y 而 2( 1). ( ) ( ) ( , ) ( , ) 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) 1 ( ) ( ) 2 0 2 0 0 0 2 2 0 2 0 0 0 2 0 2 0 0 £ + + - + - - £ + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - + - - = + - + - A B x x y y f x y f x y x x y y f x y f x y x x y y PP 定理得证. 设曲面 S 是 F( x, y,z) = 0给出, F( x, y,z) 可微. 在下一章隐函数定理中我们将证明 如果 F(x0 , y0 ,z0 ) = 0, 而 0 ( , , ) 0 0 0 ¹ ¶ ¶ z F x y z , 则存在( , ) 0 0 x y 的邻域U 和U 上可微的函 数 z = f ( x, y) , 使在( , , ) 0 0 0 x y z 的一个邻域上, 曲面S 由 z = f ( x, y) 给出. 特别的, 其有
切面 对F(x,y,f(x,y)=0微分得 0=-dx+-dy+-df 因此在(x0,y0,0)的切面d=df可表示为 0=0(xny,)+2(xn,1=0)d+2(ny=) 或 OF(o, yo, =o) aF(xo,yo, =0) (y-y0)+ aF(x,y0,=0) Ox §2.4高阶偏导与累次极限 设∫(x,y)在区域D上处处存在偏导,则 af(x,y) a(x, y) 也是D上的函数.如果 其仍可导,则称∫(x,y)在D上存在二阶偏导,记之为 a2=0 aa(afa/(af ayax ay( ax/ ay2 ay 也记为Jx,n,Jx,Jy 例:设f(x,y)=sn(x2+y2)+x3,则 cos(x+y) ayax 而 =-cos(x+y). 2y sin( x+y). 2y 2x Oxo 上例中 af af 因此一个自然的问题是这一等式是否对任意∫(x,y)都成立,即 away ayax 7
7 切面. 对 F( x, y, f ( x, y)) º 0 微分得 0 df . z F dy y F dx x F ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ = 因此在( , , ) 0 0 0 x y z 的切面dz = df 可表示为 dz z F x y z dy y F x y z dx x F x y z ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ = ( , , ) ( , , ) ( , , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 或 ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 z z z F x y z y y y F x y z x x x F x y z - ¶ ¶ - + ¶ ¶ - + ¶ ¶ = . §2.4 高阶偏导与累次极限 设 f (x, y) 在区域 D 上处处存在偏导, 则 x f x y ¶ ¶ ( , ) , y f x y ¶ ¶ ( , ) 也是 D 上的函数. 如果 其仍可导, 则称 f (x, y) 在 D 上存在二阶偏导, 记之为 , . , , 2 2 2 2 2 2 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ y f y y f x f y x y f y f x y x f x f x x f 也记为 xx xy yx yy f , f , f , f . 例: 设 2 2 3 f (x, y) = sin( x + y ) + x , 则 x y x y y x f x y x x x f cos( ) 2 3 , sin( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 = - + × × ¶ ¶ ¶ = + × + ¶ ¶ , 而 x y y x x y f x y y y f cos( ) 2 , sin( ) 2 2 2 2 2 2 2 = - + × × ¶ ¶ ¶ = - + × ¶ ¶ . 上例中 y x f x y f ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ 2 2 . 因此一个自然的问题是这一等式是否对任意 f (x, y) 都成立, 即