第十六章偏导数与全微分 §1偏导数与全微分的概念 1.求下列函数的偏导数: In (2)u=( +y) cos(ry); (3)u=arctan (5) (6)u=ry+y 2.设 y2≠0 f(a, y) 考察函数在(0,0)点的偏导数 3.证明函数a=√r2+y2在(00点连续但偏导数不存在 4.求下列函数的全微分: (1) +e-1+y 5.求下列函数在给定点的全微分: 在点(10)和(0,1 (2)u=ln(x+y2)在点(0.1)和(11);
第十六章 偏导数与全微分 §1 偏导数与全微分的概念 1．求下列函数的偏导数： (1) u = x 2 ln(x 2 + y 2 )； (2) u = (x + y) cos(xy)； (3) u = arctan x y； (4) u = xy + x y； (5) u = xyesin(xy)； (6) u = x y + y x . 2．设 f(x, y) = y sin 1 x2+y 2 , x2 + y 2 6= 0, 0, x2 + y 2 = 0. 考察函数在(0,0)点的偏导数. 3．证明函数u = p x 2 + y 2在(0,0)点连续但偏导数不存在. 4．求下列函数的全微分： (1) u = p x 2 + y 2 + z 2； (2) u = xeyz + e −x + y. 5．求下列函数在给定点的全微分： (1) u = √ x x2+y 2在点(1,0)和(0,1)； (2 ) u = ln(x + y 2 )在点(0,1)和(1,1)； 1
(3)u=2在点(1 (4u=x+(-1) arcsin在点(0,1) 6.考察函数f(x,y)在(0,0)点的可微性,其中 y511x-7, x2+y2≠0 f(a,)= 0. 7.证明函数 +y2≠0, ∫(x,y) 在(0,0)点连续且偏导数存在,但在此点不可微。 8.证明函数 f(a, y) (x2+y2)sn+,x2+y2≠0 的偏导数存在,但偏导数在(0,0)点不连续,且在(00)点的任何邻域中无 界,而f在原点(00)可微 9.设 F,2+2≠0 证明器和在(0)点连续 10.设 ∫1=n2,2+2≠0 0 证明f(x,y)在(0,0)点可微,并求(0,0) 11.设 x2+y2≠0, ∫(x,y)
(3) u = qx y在点(1,1,1)； (4) u = x + (y − 1) arcsinqx y在点（0，1）. 6．考察函数f(x, y)在(0,0)点的可微性，其中 f(x, y) = xy sin 1 x2+y 2 , x2 + y 2 6= 0, 0, x2 + y 2 = 0. 7．证明函数 f(x, y) = x 2 y x2+y 2 , x2 + y 2 6= 0, 0, x2 + y 2 = 0. 在(0,0)点连续且偏导数存在，但在此点不可微。 8．证明函数 f(x, y) = (x 2 + y 2 ) sin 1 x2+y 2 , x2 + y 2 6= 0, 0, x2 + y 2 = 0. 的偏导数存在，但偏导数在(0,0)点不连续，且在(0,0)点的任何邻域中无 界，而f在原点(0,0)可微。 9．设 f(x, y) = x 2 y 2 x2+y 2 , x2 + y 2 6= 0, 0, x2 + y 2 = 0. 证明∂f ∂x和∂f ∂y在(0,0)点连续. 10．设 f(x, y) = 1−e x(x 2+y 2) x2+y 2 , x2 + y 2 6= 0, 0, x2 + y 2 = 0. 证明f(x, y)在(0,0)点可微，并求df(0, 0). 11．设 f(x, y) = x 3 x2+y 2 , x2 + y 2 6= 0, 0, x2 + y 2 = 0. 2
(1)x=x(t),y=y()是通过原点的任意可微曲线(即x2(0)+y2(0 0;t≠0时,x2(t)+y2(t)≠0,x(t)、y(t)可微)求证f(x(t,y(t)可微 (2)f(x,y)在(0,0)不可微 12.设r,y很小,利用全微分推出下列各式的近似公式 (1)(1+x)m(1+y)2; (2) arctan 1+ry 13.设u=f(x,y)在矩形:a<x<b,c<y<d内可微,且全微分dn恒 为零,问∫(x,y)在该矩形内是否应取常数值?证明你的结论 14.设器在(x00)在,在(x0)连续,求证f(x,y)在(x0m)可微 15.求下列函数的所有二阶偏导数 (1) + (3)u=asin(a +y)+y cos(a +y); 16.求下列函数指定阶的偏导数 (2)u= arctan,求所有三阶偏导数 (3)u=sim(2+y2)求,别 (4)=xyc++,求mm; (5)=出(x≠),求m; 3
(1) x = x(t), y = y(t)是通过原点的任意可微曲线（即x 2 (0) + y 2 (0) = 0;t 6= 0时，x 2 (t) + y 2 (t) 6= 0, x(t)、y(t)可微）.求证f(x(t), y(t))可微. (2) f(x, y)在(0,0)不可微. 12．设|x| , |y|很小，利用全微分推出下列各式的近似公式： (1) (1 + x) m(1 + y) n ; (2) arctan x+y 1+xy . 13．设u = f(x, y)在矩形：a < x < b, c < y < d内可微，且全微分du恒 为零，问f(x, y)在该矩形内是否应取常数值？证明你的结论. 14．设∂f ∂x在(x0, y0)存在，∂f ∂y在(x0, y0)连续，求证f(x, y)在(x0, y0)可微. 15．求下列函数的所有二阶偏导数： (1) u = ln p x 2 + y 2； (2) u = xy + y x； (3) u = x sin(x + y) + y cos(x + y)； (3) u = e xy . 16．求下列函数指定阶的偏导数： (1) u = x 3 sin y + y 3 sin x,求 ∂ 6u ∂x3∂y3； (2) u = arctan x+y 1−xy，求所有三阶偏导数； (3) u = sin(x 2 + y 2 ),求∂ 3u ∂x3，∂ 3u ∂y3； (4) u = xyzex+y+z ,求 ∂ p+q+ru ∂xp∂yq∂zr； (5) u = x+y x−y (x 6= y)，求 ∂ m+nu ∂xm∂yn； 3
(6)=ln(ax+by)求m 17.验证下列函数满足 m2+=0 (3)u=e cos y; (4)u=arctan g 18.设函数u=9(x+v(y),证明 a2u au 22, ax away dy ax2 19.设fx,f在点(xo,30)的某邻域内存在且在点(xo,y)可微,则有 fru(ao, yo)= fur(o, yo) §2复合函数与隐函数微分法 1.求下列函数的所有二阶偏导数: (1)u=f(ar, by) (2)u=f(x+y,x-y); (5)u=f(x2+y2+2);
(6) u = ln(ax + by),求 ∂ m+nu ∂xm∂yn . 17．验证下列函数满足 ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 = 0. (1) u = ln(x 2 + y 2 )； (2) u = x 2 − y 2； (3) u = e x cos y； (4) u = arctan y x . 18．设函数u = ϕ(x + ψ(y))，证明 ∂u ∂x ∂ 2u ∂x∂y = ∂u ∂y ∂ 2u ∂x2 . 19．设fx, fy在点(x0, y0)的某邻域内存在且在点(x0, y0)可微，则有 fxy(x0, y0) = fyx(x0, y0). §2 复合函数与隐函数微分法 1．求下列函数的所有二阶偏导数： (1) u = f(ax, by)； (2) u = f(x + y, x − y)； (3) u = f(xy2 , x2 y)； (4) u = f( x y , y z )； (5) u = f(x 2 + y 2 + z 2 )； 4
(6)u=f(a +y, ry, I 2.设z 其中∫是可微函数,验证 1 az 1 az 2 r ar y ay y2 3.设=19(t-2),c为常数,函数g-阶可导, x2+y2 证明+卾+票=淵 4.若函数f(x,y,2)对任意正实数满足关系 f(tr, ty, ta)=t'f(a, y, 2) 则称f(x,y,x)为n次齐次函数设f(x,y,z)可微,试证明f(x,y,2)为n次齐次 函数的充要条件是 af af x+ya+22=n(,,3 5.验证下列各式: 1)a=(x2+y2)则y-x物=0 (2)=y(2-y2,则y+物= (3)=9(x+y)+(x+,则尝-2需+影=0 (4)u=x9(2)+0(2)则2+2mym1+y2=0 6.设u=f(x,y)可微,在极坐标变换x=rcos,y=rsinθ下,证明 这时称(2+(是一个形式不变量 8.设函数u=f(x,y)满足拉普拉斯方程 ax2 ay2
(6) u = f(x + y, xy, x y ). 2．设z = y f(x2−y 2)，其中f是可微函数，验证 1 x ∂z ∂x + 1 y ∂z ∂y = z y 2 . 3．设v = 1 r g(t − r c )，c为常数，函数g二阶可导，r = p x 2 + y 2 + z 2。 证明∂ 2 v ∂x2 + ∂ 2 v ∂y2 + ∂ 2 v ∂z2 = 1 c 2 ∂ 2 v ∂t2 . 4．若函数f(x, y, z)对任意正实数t满足关系 f(tx, ty, tz) = t n f(x, y, z) 则称f(x, y, z)为n次齐次函数.设f(x, y, z)可微，试证明f(x, y, z)为n次齐次 函数的充要条件是 x ∂f ∂x + y ∂f ∂y + z ∂f ∂z = nf(x, y, z). 5．验证下列各式： (1) u = ϕ(x 2 + y 2 ),则y ∂u ∂x − x ∂u ∂y = 0； (2) u = yϕ(x 2 − y 2 ),则y ∂u ∂x + x ∂u ∂y = xu y ； (3) u = xϕ(x + y) + yψ(x + y),则∂ 2u ∂x2 − 2 ∂ 2u ∂x∂y + ∂ 2u ∂y2 = 0； (4) u = xϕ( y x ) + ψ( y x ),则x 2 ∂ 2u ∂x2 + 2xy ∂ 2u ∂x∂y + y 2 ∂ 2u ∂y2 = 0. 6．设u = f(x, y)可微，在极坐标变换x = r cos θ，y = r sin θ 下，证明 ( ∂z ∂x) 2 + (∂z ∂y ) 2 = (∂z ∂u) 2 + (∂z ∂v ) 2 . 这时称( ∂z ∂x) 2 + ( ∂z ∂y ) 2是一个形式不变量. 8．设函数u = f(x, y)满足拉普拉斯方程 ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 = 0 5