又如,若X,Y具有联合分布律 Y 0 PiYi 1/6 2/6 1/2 1/6 2/6 1/2 PX=i 1/3 2/3 则X,Y也是相互独立的 再如§2例1中的随机变量F和D,由于 P{D=1,F=0}=110≠P{D=1}P{F=0}.因而F和 D不是相互独立的
7 又如, 若X,Y具有联合分布律 Y X 0 1 P{Y=j} 1 1/6 2/6 1/2 2 1/6 2/6 1/2 P{X=i} 1/3 2/3 1 则X,Y也是相互独立的. 再如§2例1中的随机变量F和D, 由于 P{D=1,F=0}=1/10P{D=1}P{F=0}. 因而F和 D不是相互独立的
二维正态随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x, y) p 2兀1O2V1-p 2(1-p2) (x-A4)y-A2)(-2) 其边缘概率密度/(x)30)的乘积为 f(xf(y) 2π0、、 (x-1)2,(y-2) 易证X和Y独立的充要条件是p=0
8 二维正态随机变量(X,Y)的概率密度为 其边缘概率密度fX (x),fY (y)的乘积为 . ( )( ) ( ) 2 ( ) 2(1 ) 1 exp 2π 1 1 ( , ) 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 − + − − − − − − − = x y y x f x y . ( ) ( ) 2 1 exp 2π 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 − + − = − x y f x f y X Y 易证X和Y独立的充要条件是=0
例一负责人到达办公室的时间均匀分布在 8~12时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布 在7-~9时,设他们到达的时间相互独立,求他们 到达时间相差不超过5分钟(1/12小时)的概率 解设X和Y分别是负责人和他的秘书到达办公 室的时间,由假设X和Y的概率密度分别为 /4.8<x<12 f(x= 几/2,7<y<9 0,其它 fy (y) 0,其它
9 例 一负责人到达办公室的时间均匀分布在 8~12时, 他的秘书到达办公室的时间均匀分布 在7~9时, 设他们到达的时间相互独立, 求他们 到达时间相差不超过5分钟(1/12小时)的概率. 解 设X和Y分别是负责人和他的秘书到达办公 室的时间, 由假设X和Y的概率密度分别为 = = 其它 0, 其它 1/ 2,7 9, ( ) 0, 1/ 4,8 12, ( ) y f y x f x X Y
因为X,Y相互独立,故(X,Y的概率密度为 f(x,y=fux)fy(y) j1/88<x<12,7<y<9 0,其 按题意需要求概率P{X-≤1/12}.画出区域: x-y1/12,以及长方形[8x-12;7<y<9],它们 的公共部分是四边形BCCB,记为G.显然仅当 (X,Y)取值于G内,他们两人到达的时间相差才 不超过1/12小时.因此,所求的概率为
10 因为X,Y相互独立, 故(X,Y)的概率密度为 = = 0, . 1/8,8 12,7 9, ( , ) ( ) ( ) 其它 x y f x y f x f y X Y 按题意需要求概率P{|X−Y|1/12}. 画出区域: |x−y|1/12, 以及长方形[8<x<12; 7<y<9], 它们 的公共部分是四边形BCC'B',记为G. 显然仅当 (X,Y)取值于G内, 他们两人到达的时间相差才 不超过1/12小时. 因此, 所求的概率为
y-x B 9 101112 =x=12 yx=-12
11 y=x y−x=12 y−x=−12 7 8 9 10 11 12 8 9 B B' A C' C G