人民邮电出版社：高等学校21世纪教材《离散数学》电子教案（PPT课件）第八章 环和域

高等学校21卌纪教材 这里也有平凡子环与真子环之说,与平凡 子群和真子群类似。 由环的定义知道,若<S,+>为群<R,+> 的子群,<S,+>是<R,>的子半群,在R上乘 法对于加法分配律成立,则<S,+,→>是<R, +,>的子环。显然由于SR而分配律、结合律 在R中成立。则在S中亦成立。于是,子环可定 义如下: PT PRESS 人民邮电出版社

这里也有平凡子环与真子环之说，与平凡 子群和真子群类似。 由环的定义知道，若<S，+>为群<R，+> 的子群，<S，+>是<R，·>的子半群，在R上乘 法对于加法分配律成立，则<S，+，·>是<R， +，·>的子环。显然由于SR而分配律、结合律 在R中成立。则在S中亦成立。于是，子环可定 义如下：

高等学校21卌纪教材 若(1)SR (2)<S,+>是<R,+>的子群 (3)S对满足封闭性 则<S,+,>为<R,+,>的子环 由此及上节定理763:<S,⊙>是<R,⊙> 的子群的充要条件是对任意a,b∈S则a⊙b1∈S, 便可得到下面定理 PT PRESS 人民邮电出版社

若 (1)≠SR (2)<S，+>是<R，+>的子群 (3)S对·满足封闭性 则<S，+，·>为<R，+，·>的子环。 由此及上节定理7.6.3：<S，⊙>是<R，⊙> 的子群的充要条件是对任意a，b∈S则a⊙b -1∈S， 便可得到下面定理

高等学校21卌纪教材 定理8,2.1给定环<R,+,…>及必≠S∈R,则 <S,+,>是<R,+,→的子环兮(va)(b)(a, b∈S→a-b∈S∧a·b∈S 本定理表明<S,+,…>为<R,+,>的子环 的主要条件是S对减法运算封闭和S对乘法运算 封闭。 由此看出,含幺环的子环未必也含幺元, 因为<,+,>是含幺元1的环,其子环<E,+,>不再 含乘法幺元。 PT PRESS 人民邮电出版社

定理8.2.1 给定环<R，+，·>及≠SR，则 <S，+，·>是<R，+，·>的子环(a)(b)(a， b∈S→a-b∈S∧a·b∈S) 本定理表明<S，+，·>为<R，+，·>的子环 的主要条件是S对减法运算封闭和S对乘法运算 封闭。 由此看出，含幺环的子环未必也含幺元， 因为<I,+,·>是含幺元1的环，其子环<E,+,·>不再 含乘法幺元