高等学校21卌纪教材 同理-(ab)=(a)b 推论1(√a)(vb)(a,b∈R→(-a)(-b)=ab) 推论2(a)(b)(Vc)(a,b,c∈R→(a(b O)=ab-a c)/((b-c) a=b a-c" a)) 由定理81.1可知,环中任二元素相乘,若 其中至少有一个为零元,则乘积必为零元。但 反之未必真,这是因为在环中,两个非零元的 乘积可能为零元,这便引出环的零因子的概念。 PT PRESS 人民邮电出版社
同理 -(a·b)=(-a)·b 推论1 (a)(b)(a，b∈R→(-a)·(-b)=a·b) 推论2 (a)(b)(c)(a，b，c∈R→(a·(bc)=a·b-a·c)∧((b-c)·a=b·a-c·a)) 由定理8.1.1可知，环中任二元素相乘，若 其中至少有一个为零元，则乘积必为零元。但 反之未必真，这是因为在环中，两个非零元的 乘积可能为零元，这便引出环的零因子的概念
高等学校21卌纪教材 定义8.1.3给定环<R,+,>,则环<S, +,>中有零因子:=(三a)(日b)(a, b∈R∧a0∧b(0→x:b=0) 并称该环为含零因子环,a和b是零因子。 注意,零因子其自身非零也。 PT PRESS 人民邮电出版社
定义8.1.3 给定环<R，+，·>，则环<S， +，·>中有零因子:=(a)(b)(a， b∈R∧a≠0∧b≠0→a·b=0) 并称该环为含零因子环，a和b是零因子。 注意，零因子其自身非零也
高等学校21卌纪教材 定理8.1.3给定环<R,+ 则<R +,…>为无零因子环令<R,>满足可约律。 定义8.1.4给定可交换含幺环<R, 若<R,+,>无零因子,则称<R,+,>为整环。 由定义8.1.3知道,环中可约律与无零因子 是等价的,因此整环是无零因子可交换含幺环 或者说是满足可约律可交换含幺环。 PT PRESS 人民邮电出版社
定理8.1.3 给定环<R，+，·>，则<R， +，·>为无零因子环<R，·>满足可约律。 定义8.1.4 给定可交换含幺环<R，+，·>， 若<R，+，·>无零因子，则称<R，+，·>为整环。 由定义8.1.3知道，环中可约律与无零因子 是等价的，因此整环是无零因子可交换含幺环 或者说是满足可约律可交换含幺环
高等学校21卌纪教材 下面再给出一个定理以结束本节 定理8.1.4给定含幺环<R,+,>且 R≠0},则R≌2。 PT PRESS 人民邮电出版社
下面再给出一个定理以结束本节。 定理8.1.4 给定含幺环<R，+，·>且 R≠{0}，则|R|≥2
高等学校21卌纪教材 8.2子环与理想 与讨论群与子群一样,对于环也要讨论子 环 定义82.1给定环<R,+,…>和非空集合 ScR,若<S,+>是<R,+>的子群,<S,>是 <R,·>的子半群,则称<S,+,…>是<R,+, 的子环。 PT PRESS 人民邮电出版社
8.2 子环与理想 与讨论群与子群一样，对于环也要讨论子 环。 定义8.2.1 给定环<R，+，·>和非空集合 SR，若<S，+>是<R，+>的子群，<S，·>是 <R，·>的子半群，则称<S，+，·>是<R，+，·> 的子环